Démonstration Du Nombre D'or

[bloudwine]

Bonjour à tous , :P

Alors voila j'ai un petit probléme dans une démonstration a faire sur le nombre d'or :

Soit la suite (An) définie par :

A0=2

An+1=1+1/An

Premiére question st de démontrer que An est comprise entre 3/2 et 2

Est que An est monotone .

Ensuite on pose Un=A2n et Vn=A2n+1

a)vérifier que pour tout n,Un+1=f(Un) et Vn+1=f(Vn) avec f(x)=(2x+1)/(x+1)

Je l'ai fait pour Un+1 mais je n'y arrive pas avec Vn+1 est ce que c'est égale a An+3 ??

b)Montrer que (Un) et (Vn) sont des suites adjacentes

La aussi comment puis je montrer qu'elle st adjacentes puisque je ne connais pas leur premier terme et ne peux pas déterminer si les suites st croissante ou décroissante ?

C)en déduire que (an) est convergente et calculer sa limite

C'est avec le théoréme des gendarmes je pense ??

Svp aidez moi !!

Blan

[elp]

des indications vite fait...

on procède par récurrence

si 3/2<An<2 alors 1/2<1/An<2/3 et 1+1/2<1+1/An<1+2/3 dc 3/2<An+1<5/3

A0=2 A1=1.5 et ensuite A2=5/3 et A3=8/5 dc je te laisse finir (et on voit que la suite n'est pas monotone)

Un=A2n

A2n+1=1+1/A2n=(A2n +1)/(A2n)

Un+1=A2n+2=1+A2n/(A2n +1)=(A2n +1 +A2n)/(A2n +1)=(2A2n +1)/(A2n +1) dc relation de la forme (2x+1)/(x+1)

idem pour Vn

la dérivée de f est 1/(x+1)² dc toujours positive (car x diff de -1 vu l'encdrement du début)

f est dc croissante

si Un>Un+1 alors f(Un)>f(Un+1) dc Un+1>Un+2 dc faire une récurrence

pareil pour Vn: Vn<Vn+1 entrainera Vn+1<Vn+2

tu montres ainsi que l'une est croissante et l'autre décroissante

la croissante est majorée par 2 dc elle converge et la décroissante est minorée par 3/2 dc elle converge aussi

si l est la limite de Un par exemple on aura l=(2l+1)/(l+1) dc l²+l=2l+1 dc l²-l-1)=0

une seule solution convient pour l c'est la positive (1+rac(5))/2

Un converge vers ce nombre

pareil pour Vn dc (Un-Vn) td vers 0 qd n tend vers +00 et tes 2 suites sont bien adjacentes

la limite commune est le nombre d'or (1+rac(5))/2 et c'est la limite de An

je te laisse le soin de rédiger tout cela proprement !

[bloudwine]

l²+l=2l+1 dc l²-l-1)=0

Je ne comprend pas cette écriture??!!

Comment je montre que an n'est pas monotone car je l'avais fait avec une récurrence et je trouve qu'elle l'étais !Pourrais tu m'en dire un peu plus stp?

Merçi en tout cas

[bloudwine]

ha et tu pourra me dire si j'ai juste pour vn :

Vn=A2n+1

Vn+1=A2n+3

A2n+3=1+1/(A2n+2)=1+1/(1+1/A2n+1)=1+(A2n+1/A2n+2)=(1+2An)/(1+A2n)

thanks!!

[elp]

(2x+1)/(x+1)=f(x)

Un+1=(2Un +1)/(Un +1)

en passant à la limite l, on aura: l=(2l +1)/(l+1) dc l²+l=2l + 1 dc l²-l-1=0

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ok pour Vn

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pour montrer que An n'est pas monotone, calcule A0,A1,A2,A3 etc

tu verras que les termes d'indice pair décroissente et que ceux d'indice impair croissent.

[keiko]

ah le nombre d'or c'est mon sujet de tpe et pour le démonstrer je suis passée par le définition puis j'ai résolu un polynôme du second degré bcp plus simple que ce qui t'es proposé dans ton exercice ^^

[bloudwine]

Ha oui oki Bien merçi !

Et comment fait on pour avoir de nouveau code il suffit de répondre aux autres question?

B)