Aide Dm 1ère S Barycentres

[simon16]

Pour ceux qui ont le livre c'est l'exercice 65 p 346 de "Déclic Maths" 1èreS (le livre est vert)

On a un triangle ABC.

On pose :

A' pied de la hauteur issu de A,

A1 pied de la bissectrice intérieure de l'angle BAC

et a=BC, b=AC, c=AB

PARTIE 1 :

1) Le pied de la bissectrice intérieure

On rappelle que tout point de la bissectrice (AA1) est éqidistant des côtés (AB) et (AC) ; d désiqne la distance de A1 à la droite (AB)

a) Donner deux expressions de l'aire du triangle AA1B

B) Donner deux expressions de l'aire du triangle AA1C

c) En déduire l'égalité A1B/A1C=c/b

d) Démontrer que A1 est le barycentre de (B,B) et (C,c)

2) Le pied de la hauteur

On suppose que les angles du triangle ABC sont aigus. Ainsi, A' est sur le segment [bC].

a) Prouver que : tan ^B/tan^C=A'C/A'B

B) Prouver que A' est le barycentre de (B, tan^B) et (C, tan^C)

Partie 2 :

1) Concours des bissectrices intérieures

Soit I le barycentre de (A,a), (B,B) et (C,c).

a) Démontrer que le point I appartient à (AA1)

B) Démontrer que les bissectrices du triangle ABC sont concourantes en I, le centre du cercle inscrit au triangle ABC

2) Concours des hauteurs

En ne considérant que la cas d'un triangle dont les angles sont aigus, démontrer que le concours des hauteurs par un raisonnement analogue au précédent

Ps : ^B c'est l'angle B (désolé je n 'ai pas pu faire autrement)

Je vous remercie par avance de votre aide

[simon16]

Excusez moi, remplacez tous les smilez par un petit "b"

[elp]

je te donne des pistes à suivre

partie 1)

on appelle d la distance de A1 aux droites (AB)et (AC)

l'aire de AA1B est d*AB/2 et aussi AA' * BA1/2 dc d*AB=AA' * BA1 ( en utilisant S=base * hauteur/2) dc BA1/AB=d/AA'

de même d * AC= AA' * A1C dc A1C/AC=d/AA'

dc A1C/AC=A1B/AB dc A1B/A1C=AB/AC dc b*A1B=c*A1C et avec cette égalité il est simple de montrer que A1 est le bary de .....

tanB=AA'/A'B et tanC=AA'/A'C (ds un tr rect c opposé/c adja)

on en déduit que tanB/tanC=A'C/A'B dc A'B*tanB=A'C*tanC

dc facile de conclure

partie2)

I bary de (A,a) (B,b) (C,c)

on utilise l'associativité

A1 = bary (B,b) (C,c) donc I bary de (A,a) (A1,b+c) dc I est sur la droite (AA1)

de la même façon on démontrerait que I est sur les 2 autres bissectrices

Considère le point H bary de (A tanA) (B,tanB) (C,tanC)

A' étant le bary de (B,tanB)(C,tanC), H est le bary de (A,tanA)(A',tanB+tanC) dc H sur (AA')

de même H est aussi sur les 2 autres hauteurs

[simon16]

Merci beaucoup pour ton aide elp!