Suites

[ju0808]

alors voila mon prolbème, j'éprouve beaucoup de difficulté à la résoudre ....

soit (Un) la suite définie sur N par :

Uo = 0 U(n+1) = V(3 Un + 4) ( V c'est une racine)

on sait que Un est majorée par 4, qu'elle est strictement croissante, qu'elle est alors convergente et que sa limite est 4

la question est :

Montrer que pour tout entier naturel n on a :

4 - U(n+1) < 1/2 (4 - Un)

puis montrer que pour tout entier naturel n on a :

4 - Un < 4 (1/2)^n

merci d'avance pour votre aide, c'est la seule question que je n'arrive pas a résoudre !

[elp]

[4-u(n+1)]/[4-u(n)]=[4-rac(3u(n)+4)]/[4-u(n)]

on multiplie le num et le déno par [4+rac(3u(n)+4)]

le num est alors 16-(3u(n)+4)=12-3u(n)=3*(4-u(n))

le déno est (4-u(n))*[4+rac(3u(n)+4)]

on simplifie par 4-u(n) et on trouve 3/[4+rac(3u(n)+4)]

on sait que 0<u(n)<4

dc 0<3(u(n))<12

dc 4<3(u(n)+4)<16

dc 2<rac(3(u(n)+4))<4

dc 6<4+rac(3u(n)+4))<8

dc 1/8<1/[4+rac(3u(n)+4)]<1/6

dc 3/8< 3/[4+rac(3u(n)+4)]<3/6

dc[4-u(n+1)]/[4-u(n)]<1/2

dc 4-u(n+1)<(1/2)*[4-u(n)]

on fait un raisonnement par récurrence (j'en fais le début, à toi de finir)

on suppose que pour un certain nombre entier n on a:

4-u(n)<4*(1/2)^n

on a alors (1/2)*[4-u(n)]<4*(1/2)^n*(1/2)

dc en utilisant l'inégalité démontrée au dessus:

4-u(n+1)<(1/2)*[4-u(n)]<4*(1/2)^n*(1/2)

dc 4-u(n+1)<4*(1/2)^(n+1)

etc......