Devoir-maison Urgent !

[Spirql]

Voila en fait j'ai un exercice a faire assez difficile et il est pour dans deux jours. Malheureusement j'ai également d'autres devoirs pour demain mais je prefère m'avancer pour ne pas avoir à le faire à la dernière minute. Bon voici l'énoncé :

Exercice 1

1. Démontrer qu'il existe un unique polynôme de degré 3 vérifiant :

P(0)=0 et pour tout x appartenant à |R, P(x)-P(x-1)=x²

On rappelle que (a-B)^3=a^3-3a²b+3ab²-b^3.

2.En exprimant k² en fonction de P(k) et P(k-1),puis en additionnant les égalités, déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 1:

(Sigma de k=1 jusqu'à n)k²=[n(n+1)(2n+1)]/6 <- cette opération est une fraction !

Bon moi je suis arrivé à P(x)-P(x-1)=-3ax²-3ax+2bx-a-b+c et je bloque. Aidez-moi s'il vous plaît !!!!

[elp]

1)

On pose p(x)=ax^3+bx^2+cx+d

P(0)=0 entraine d=0

on écrit P(x)-P(x-1)

on trouve 3ax^2+(-3a+2b)x+a-b+c et comme c'est égal à x^2 pour tout x, on a

3a=1

-3a+2b=0 et a-b+c=0

finalement P(x)=(x^3)/3+(x^2)/2+x/6

2)

k²=P(k)-P(k-1) d'après le 1

on utilise cela

1²=P(1)-P(0)

2²=P(2)-P(1)

3²=P(3)-P(2)

4²=P(4)-P(3)

......

n²=P(n)-P(n-1)

on additionne les membres de gauche et on a la somme des carrés des entiers de 1 à n

on additionne les membres de droite: P(1) de le 1ère ligne s'en va avec P(1) de la 2è, P(2) de la 2è ligne s'en va avec P(2) de la 3è et ainsi de suite.

il reste donc P(n)-P(0)=P(n) car P(0) =0

la somme des carrés est dc P(n)=(n^3)/3+(n^2)/2+n/6=(1/6)*(2n^3+3n^2+n)=(1/6)*n*(2n²+3n+1)=(1/6)*n*(2n+1)(n+1)