Devoir Maison Angles Orientés

[abou24]

Bonjour à tous,

j'ai un devoir maison mais j'ai vraiment besoin que vous m'aidier à le résoudre. Il comporte 3 parties (A,B et C). Pour l'instant je vais juste mettre la partie A. J'ai surtout besoin de la méthode.

sujet:

L'objectif du problème est de calculer les valeurs exactes des lignes trigonométriques de 2pi/5 puis d'en déduire une construction à la règle et au compas d'un pentagone régulier.

Sur la figure ci-dessous, ABCDE est un pentagone convexe régulier direct inscrit dans le cercle trigonométrique C

muni d'un repère orthonormal (O;OA,OJ)

figure

PARTIE A - Détermination de mesures principales d'angles orientés

Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants:

1. (OA;OB) , (OA;OC) , (OA;OD) et (OA;OE).

2. (OJ';JA) , (OJ;BO) et (AE;AO).

p.s. : tous sont des vecteurs

Merci de votre aide pour cette première partie. Je ne vois vraiment pas comment faire.

[Matrix_]

salut,

Tous les triangles que tu vois dans le pentagone sont équilatéraux donc chaque côté à un angle de Pi/3 et le tour est joué =/

[abou24]

merci beaucoup, j'avais pas penser à ça

pouvez-vous m'aider pour la suite s'il vous plaît

Partie B: Calcul exact du cosinus et du sinus de 2pi/5

1. Exprimer OB et OE en fonction de OA et OJ, puis en déduire l'égalité :

OB+OE = 2cos(2pi/5)OA.

Exprimer de même OC + OD en fonction de OA

j'ai fait:

Pour OB: OB = OA + OJ

OE: OE = OA + OJ

OB+OE = 2OA je suis pas sur du tout

je vois pas pour la déduction à en tirer.

2. a) Soit l'isobarycentre de A,B,C,D et E.

Montrer que O est le barycentre de (;-5) et (A;1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5).

B) Expliquer pourquoi O peut également être considéré comme barycentre de et B

c) Déduire de ce qui précède que et confondu avec O.

d) Que peut-on dire de la somme 1+2cos(2pi/5) + 2 cos(4pi/5)?

3) a) Résoudre dans R l'équation (E) : 4x² + 2x -1 = 0

B) En utilisant la formule "cos(2a) = 2 (cos a)² -1" (que nous démontrerons dans un prochain chapitre), montrer que cos (2pi/5) est solution de l'équation (E).

c) En déduire la valeur exacte de cos (2pi/5) puis celle de sin (2pi/5).

Merci beaucoup de m'aider

[elp]

le pentagone est régulier dc ses 5 "angles au centre" sont égaux et valent 2pi/5

(OA,OB)=2pi/5

(OA,OC)=4pi/5

les 2 suivants 6pi/5 et 8pi/5

(OJ',JA)= (JO,JA)=pi/4

(OJ,BO)= - (OJ,OB)= -[(OJ,OA)+(OA,OB)]= - (-pi/2+2pi/5)=pi/10

OB=cos(2pi/5)OA+sin(2pi/5)OJ

OE=cos(-2pi/5)OA+sin(-2pi/5)OJ =cos(2pi/5)OA-sin(2pi/5)OJ

on en déduit que OB+OE=2cos(2pi/5)OA

OC=cos(4pi/5)OA+sin(4pi/5)OJ

OD=cos(6pi/5)OA+sin(6pi/5)OJ=cos(4pi/5)OA-sin(4pi/5)OJ (utilise les propriétés de cos x et cos 2pi-x et sin x et sin 2pi-x)

on en déduit que OC+OD=2cos(4pi/5)OA

Ensuite, ton énoncé n'est pas complet, ça ne facilite pas les choses !

je te donne ma solution

J'appelle K l'isobarycentre de A,B,C,D,E

pour tt point M, on a 5MK=MA+MB+MC+MD+ME et en particulier, si M=O, on a

5OK=OA+OB+OC+OD+OE

on peut remplacer OB+OE et OC+OD par ce que l'on a trouvé avant

5OK=OA+2cos(2pi/5)OA+2cos(4pi/5)OA=OA(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))

on peut en déduire que O est le bary de K (-5) et A(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))

on pourrait montrer de la même façon que 5OK=OB(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))

5OK-5OK=OA(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)) - OB(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))

vecteur nul=(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))[OA-OB]=(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))BA

BA n'étant pas un vecteur nul, on a obligatoirement (1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)) qui est nul

cos(4pi/5)=2cos²(2pi/5)-1

on reporte ds ce qui précède

1+2cos(2pi/5)+4cos²(2pi/5)-2=0

en posant cos(2pi/5)=x on obtient

4x²+2x-1=0

tu vas trouver facilement les solutions et il faudra retenir celle qui est positive( c'est (rac(5)-1)/4) car cos(2pi/5) est positif

ensuite, il est facile de trouver le sinus (cos²x+sin²x=1 pour tt x)

[abou24]

qu'est ce que tu veut dire quand tu dis que mon enoncé n'est pas complet. Il te manque une info. Moi j'ai tout mis il me reste juste la partie C qui est la construction d'un pentagone régulier à la règle et au compas.

Merci pour tes réponses.

[elp]

dans le b) du 2 il manque des choses

bonne soirée

[abou24]

ah oui désolé

2)B) Epliquer pourquoi O peut également être considéré comme barycentre de "omega" et B.

[abou24]

je repends la question 2)

Quand il manque quelquchose, en fait c'est "omega" que toi tu as appelé K.

c) En déduie .. que "omega" est confondu avec O.

Je comprends pas trop ce que tu as fait à partir du 2)B)

est-ce que tu pourrais mettre les numéros stp. je suis un peu perdu

merci beaucoup

[elp]

mon K c'est ton oméga

(il manque encore des lettres aussi alors j'ai essayé de deviner la question)

le 2)b commence à: on pourrait montrer de la même façon que B .....

ensuite j'ai 5 OK qui est exprimé de 2 façons différentes

en faisant la soustraction, on trouve le vecteur nul à droite et le vecteur BA multiplié par (1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))

dc comme bA n'est pas un vecteur nul, la seule possibilité c'est que

(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)) soit égal à 0.

A plus

[abou24]

désolé j'avais pensé que ça c'était la réponse à la 2)d) comme il demande ce qu'on peut dire de la somme et comme tu dis qu'elle est nulle.

merci

[abou24]

pouvez m'aider pour 2)c)etd)

il ne me reste que ces deux questions à faire et mon devoir et fini

[elp]

on va utiliser ce que j'ai écrit en 2005

on pourrait montrer de la même façon que 5OK=OB(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))

5OK-5OK=OA(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)) - OB(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))

vecteur nul=(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))[OA-OB]=(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5))BA

BA n'étant pas un vecteur nul, on a obligatoirement (1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)) qui est nul

Rajoute là:

comme on a montré que

5OK=OA(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)) et que 1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5) est nul alors 5OK=vecteur nul et de ce fait on a O=K (O et ton pt oméga sont confondus)

bonne fin d'exercice