Droite Et Cercle D'euler [ Terminale S ]

[tooth]

Bonjour j'ai un exo de géométrie sur les complexes.

énoncé : On considère un triangle ABC, A', B' et C' les milieux des côtés [bC], [CA] et [AB], G est le centre de gravité du triangle et T le cercle circonscrit au triangle dont on désigne par O le centre et R le rayon.

Questions :

1) Soit le complexe h = a + b + c et H le point d'affixe de h.

Montrer que H est l'orthocentre du triangle et que vecteurOH = 3vecteurOG.

(Piste : montrer, par exemple, que (h-a)/(c-b ) est imaginaire pur. Conséquence?)

2) On pose w = (a+b+c)/2 = h/2 et l'on désigne par oméga le point d'affixe w et par C le cercle de centre oméga et de rayon R/2. Soit U(u) le milieu de [AH].

a) Montrer que a'-w = w-u et en déduire que A' et U appartiennent au cercle C et que [A'U] est un diamètre de C.

b ) Montrer que le pied de la hauteur issu de A sur (BC) appartient à C.

Si vous pouvez me guider sur la première question svp j'ai du mal à montrer que c'est un imaginaire pur, en plus je ne sais pas trop si a représente (BC), b (AC) et c( AB) comme dans Al-Kashi ou si c'est des complexes quelconques que l'on nous donne comme ça. si vous pouvez m'aider svp merci d'avance.

[Matrix_]

salut, tu n'as vraiment pas stipulé quelque part dans l'énoncé ce que représente a, b et c? car là c'est comme si c'était 3 inconnues

[tooth]

Ouai bon en fait j'ai trouvé pour la première question, a b et c représentent les affixes des sommets du triangle ABC. Avec ça j'ai su montré avec le barycentre que OH = 3OG. Mais le problème pour montrer que H est l'orthocentre, je montre que H appartient aux 3 hauteurs, j'en déduis que c'est l'orthocentre et c'est assez long. C'est pour ça que je me demande si leur "piste", l'histoire de dire que c'est un imaginaire pur ça irait pas plus vite?. Parce que si il est imaginaire pur cela veut dire que arg = pi/2 (perpendiculaire).

Donc voila je ne sais pas trop, si quelqu'un peut m'éclairer merci.

[elp]

Je pense que O (le centre du cercle circonscrit à ABC) est l’origine du repère ds lequel on travaille et que a,b,c sont les affixes respectives des 3 sommets du triangle.(si ce n’est pas le cas, oublie mon message !)

O étant le centre du cercle circonscrit au tr, on a : OB=OC dc b et c ont le même module r.

On appelle t et t’ leur argument

(h-a)/(c-b)=(c+b)/(c-b)=r(e^it’+e^it)/r(e^it’-e^it)

on simplifie par r

on multiplie le num et le déno par le conjugué du déno (e^-it’-e^-it).

je te laisse faire le calcul

on arrive ainsi à un imaginaire pur (il faut utiliser les égalités cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=-sin(x) ).

Ayant obtenu un imaginaire pur, on peut dire que le vecteur AH est orthogonal au vecteur BC dc que AH est une hauteur

On peut faire la même démo avec (h-b)/(c-a) pour montrer que BH est aussi une hauteur et par conséquent que H est l’orthocentre de ABC

G est l’isobarycentre de ABC dc 3OG=OA+OB+OC (en vecteurs) dc 3OG=OH (car on a posé h=a+b+c)

A’ milieu de [bC] dc a’=(b+c)/2

a’-w=(b+c)/2-((a+b+c)/2=-a/2 (dc son module est égal au module de a/2 dc à la norme de OA dc à R/2)

w-u=(a+b+c)/2-(a+h)/2 (car U milieu de AH) =-a/2

on a a’-w=w-u dc a’+u=2w dc w=(a’+u)/2

oméga est dc le milieu de [A’U]

U et A’ sont dc sur le cercle de diamètre [A’U] dont omega est le centre et dont le rayon est R/2

Le tr UHA’ est rectangle en H dc H est sur le cercle qui a son hypoténuse [A’U] comme diamètre dc H est aussi sur le cercle C

J’espère que tout cela t’aidera à finir.

[tooth]

Merci pour la première question je vais essayé de le refaire tout seul. Pour le barycentre j'avais trouvé merci quand même, la suite je la regarde pas je vais essayé de chercher tout seul =). Merci bcp

[tooth]

J'ai un problème pour résoudre c+b / c-b. Depuis 1 heure j'essaye et j'arrive pas à me trouver avec une partie imaginaire. SI quelqu'un pourrait m'aider please .

[tooth]

Est-ce que ça marche si je procède de cette façon :

- soit Z1 = c+b/c-b

Z1 barre = c-b/c+b ??

-Z1barre = -(c-b/c+B) = c+b/c-b

Z1 = -Z1barre donc Z1 est imaginaire pur.

C'est correct ou pas?

[elp]

1/z=zbarre si et seulement si module de z=1

z imaginaire pur si et seulement si z=-zbarre

(e^it’+e^it)/(e^it’-e^it)=(e^it’+e^it)*(e^-it’-e^-it)/(e^it’-e^it)*((e^-it’-e^-it))

développe et réduis ça et utilise les prop de cos(x) et sin(x) et tu auras la solution

ce n'est pas trop compliqué à calculer

[tooth]

Ca me fait un sacré développement à la fin je trouve :

i * ((sin(t-t'))/(cos(t-t')))

je dis Re(z) = 0 donc imaginaire pur

ça semble juste ou pas ce que je trouve?

[elp]

j'ai trouvé i*sin(t'-t)/(1-cos(t-t') ) mais je n'ai pas vérifié (je n'ai pas trop le temps cet aprem !)

en tous cas c'est un imaginaire pur dc les 2 vecteurs sont orthogonaux