Application De La Dérivée

[anais62]

bonjour, ayant des difficultés avec tous ce qui est sinus, cosinus... je fais appel à votre aide pour cet exercice.

merci d'avance pour toute aide

1. On désigne par g la fonction numérique définie sur [0; pi] par :

g(x) = x cos x - sin x

Etudier g et dresser son tableau de variation.

En déduire le signe de g(x) sur [0; pi].

2. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0; pi] par :

x=0 f(0)=1

x € ]0; pi], f(x)= sinx/x

On rapelle que lim sinx / x =1 lorsque x-->0

Etudier les variations de f sur ]0;pi]

3. Etude de f en 0.

a. Prouver que , pour tout nombre réel x 0 ,

0 x - sinx x^3/6

(Pour cela, on introduira la fonction P définie sur [ 0 ; + infini [ par :

P (x) = sin x - x + (x^3/6)

on calculera les dérivées P', P'', P''' et on en déduit le signe de P).

b. Prouver que f est dérivable au point 0 et calculer f'(0).

[elp]

Des indications :

1)

g(x)=xcos(x)-sin(x)

g’(x)=[cos(x)-sin(x)]-cos(x)=-sin(x)

il est facile de trouver le signe de –sin(x) ds l’intervalle donné.

Fais le tableau de variations de g (ça servira plustard)

2)

f(x)=sin(x)/x

f’(x)=(xcos(x)-sin(x))/x²=g(x)/x²

on utilise les résultats du 1) pour trouver le signe de f’(x) et les variations de f

faire le tableau de var qui va aussi servir plus tard.

3)

p(x)=sin(x)-x+(x^3)/6

p’(x)=cos(x)-1+(x^2)/2

p’’(x)=-sin(x)+x

p’’’(x)=-cos(x)+1

on peut trouver facilement le signe de p’’’(x), on en déduit les var de p’’ et le signe de p’’(x) puis les var de p’ etc…

tu fais un seul tableau de var avec p’’’, en dessous p’’, p’ et p

on trouve que sin(x)-x+(x^3)/6>=0

dc (x^3)/6>=x-sin(x)

en utilisant les résultats du 2) : sin(x)/x<=1 donne sin(x)<=1*x dc 0<=x-sin(x)

et tu as l’inégalité demandée

4) dérivée en 0

f(x)=sin(x)/x

dérivée de f en x0 est la limite qd h td vers 0 de [f(x0+h)-f(x0)]/h

on cherche en x0=0

on écrit d’abord [f(h)-f(0]/h

f(h)=sin(h)/h

f(0)=1 d’après l’énoncé

on a donc [sin(h)/h-1]/h=[sin(h)-h]/h²

d’après ce qui précéde:

0<=sin(h)-h<=(h^3)/6

dc

0<= [sin(h)-h]/h²<=h/6

si h td vers 0 alors [sin(h)-h]/h² td vers 0 dc la limite existe dc f est dérivable en 0 et la dérivée est 0