1ere S Devoir Maison

[banlieu-cnl]

Boujour

ABC est un triangle , O est le centre de son cercle circonscrit et H l'orthocentre du triangle. A',B',C' designent les milieux respectifs de [bC],[CA],et [AB]

1) Soit X l'isobarycentre de A,B,C et H . soit P,Q ,R les milieu respectifs des segments [AH],[bH] et [CH] ( ce sont les point d'Euleur)

a) Montrez ke X est le milieu de [OH]

b)Etablir les egalités : XP = -XA' = 1/2 OA (vecteur) ainsi que les egalités analogue

2) En déduire que A',B',C' et les points d'Euler P,Q,R appartiennent au cercle © de centre X et de rayon la moitié du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.

3)soit A1,B1,C1 les pieds des hauteurs issues de A , B , C.Montrez que ces trois ponits appartiennent à ce cercle ©.

svp je comprend pa grand chose vous pouvez m'aider?

[elp]

Je pense que tu as vu la droite d’Euler (sinon il faudra montrer ce qui suit)

(En vecteurs) tu sais que :

Si G est le ctre de gravité de ABC on OH=3OG et OH=OA+OB+OC

XA+XB+XC+XH=0 (car H isob de …. )

XG+GA+XG+GB+XC+CG+XH=0

3XG+XH=0

3XO+3OG+XH=0

3XO+OH+XH=0

3XO+OX+XH+XH=0

2XO+2XH=0

XO+XH=0 dc X milieu de OH

b)

P milieu de AH dc XP=(XH+XA)/2 mais comme XH+XA+XB+XC=0 on a XH=AX+BX+CX

Et XP=(AX+BX+CX+XA)/2=(BX+CX)/2

Or A’ est le milieu de BC dc XA’ =(XB+XC)/2 dc XP=-XA’

OA+OB+OC=OH

A’ milieu de BC dc OA’=(OB+OC)/2

On a dc

OA+2OA’=OH

OA=OH-2OA’ mais OH=2OX car X est le milieu de OH dc

OA=2OX-2OA’=2(OX+A’O)=2A’X

Dc XA’=(-1/2)OA

En longueurs :

XA’=0.5OA et de même XB’=0.5OB XC’=0.5OC

Mais OA=OB=OC=rayon du cercle circonscrit à ABC dc XA’=XB’=XC’=rayon/2 dc ces 3 points sont sur le cercle de centreX de rayon/2

XP=XA’ d’après le début du b) de même XQ=XB’ et XR=XC’ =rayon/2 dc P,Q,R st sur le cercle dont on vient de parler

En vecteurs XP=-XA’ dc X est le milieu de A’P

Le triangle A’PA1 est rect en A1 dc A1 est sur le cercle de diam A’P dc sur le cercle précédent

Pareil pour B1 et C1