Exo Sur Limites Et Continuité

[anais62]

bonsoir, je sollicite votre aide pour l'exo suivant ayant des difficultés avec les fonctions trigonométriques. c'est un exo qui fait partie d'un DM . merci d'avance pour tout aide.

PARTIE I

L'objectif de cette partie est de minorer la fonction tangente sur I = [0 ; pi/2 [.

1) Démontrer que tan x x pour tout x de I.

2) Soit g la fonction définie sur I par :

g(x) = tan x -x -(1/3)x^3

a) Ecrire g ' (x) sous la forme d'un produit.

B) Déterminer le sens de variation de g.

c) Démontrer que tan x x+(1/3)x^3 pour tout x de I

PARTIE II

L4OBJECTIF DE CETTE PARTIE EST DE MAJORER LA FONCTION TANGENTE SUR J = [0 ; pi/4]

1) Démontrer que pour tout x de J , on a tan x 2x.

2) Soit h la fonction définie sur J par :

h(x)= tan x - x - (4x/3)^3

a) Déterminer le sens de variation de h sur J

B) En déduire une majoration de la fonction tangente par une fonction cube sur J

PARTIE III

En utlisant les questions précédentes , déterminer :

lim (tan x - x ) / x² lorsque (x=> 0+)

[elp]

1) soit f(x)=tan(x)-x ds [0 ;pi/2[

f’(x)=1+tan²(x)-1=tan²(x) qui est >=0 quel que soit x ds [0 ;pi/2[

f(0)=tan(0)-0=0

x>=0 entraine f(x)>=0 et tan(x)-x>=0

2)

g(x)=tan(x)-x-x^3/3

g’(x)=1+tan²(x)-1-3*x²/3=tan²(x)-x²=(tan(x)+x)(tan(x)-x)

ds [0 ;pi/2[ tan(x), x, tan(x)+x et tan(x)-x sony>=0 dc g’(x) >=0 dc g croissante et comme g(0)=0

on a la conclusion !

soit f(x)=tan(x)-2x

f’(x)=1+tan²(x)-2=tan²(x)-1=(tan(x)+1)(tan(x)-1)

ds [0 ; pi/4[ :

tan(x)>=0 dc tan(x)+1 positif

tan(x)>1 dc tan(x)-1 <0

dc f’(x) <=0

dc f décroiss.

Et comme f(0)=0 alors f(x)<=0 et tan(x)<=2x

h(x)=tan(x)-x-(4/3)x^3

h’(x)=1+tan²(x)-1-(4/3)*3*x²=tan²(x)-4x²=(tan(x)+2x)(tan(x)-2x)

le 1er facteur est >=0, le 2è est <=0 dc h décroit

et comme h(0)=0 alors h(x)<=0 dc tan(x)<=x+(4/3)x^3

on a dc x+x^3/3<=tan(x) x+(4/3)x^3 ds [0 ;pi/4[

dc x^3/3<=tan(x)-x<=(4/3)x^3

dc x²/3<=[(tan(x)-x)/x](4/3)x²

dc la limite qd x td vers 0est 0