Exrecice Barycentre Et Parallélogramme

[olm]

[AB] est un segment. a (alpha) et b (beta) sont deux réels tels que a+b différent de 0. On effectue la construction suivante:

P est un point extérieur à la droite (AB), On construit Q tels que PQ=aPA puis S tel que PS=bPB, enfin R tel que PQRS est un parallelogramme. Il s'agit de montrer que l'intersection de (AB) et (PR) est G barycentre de (A,a) (B,B)

1a) justifier que (a+b)PG=aPA+bPB

B) deduisez en que PR et PG sont colinéaire

c) concluer

Pouvez vous m'aider svp.

merci

[olm]

[AB] est un segment. a (alpha) et b (beta) sont deux réels tels que a+b différent de 0. On effectue la construction suivante:

P est un point extérieur à la droite (AB), On construit Q tels que PQ=aPA puis S tel que PS=bPB, enfin R tel que PQRS est un parallelogramme. Il s'agit de montrer que l'intersection de (AB) et (PR) est G barycentre de (A,a) (B,b)

1a) justifier que (a+b)PG=aPA+bPB

b) deduisez en que PR et PG sont colinéaire

c) concluer

Pouvez vous m'aider svp.

merci

[elp]

On travaille avec des vecteurs (impossible d’écrire les -->)

L’énoncé dit :

1) PQ=aPA

2) PS=bPB

3)a+b non nul

4)PQRS est un parallèlogramme

Soit G le bary de {A(a) B(b)}

Pour tout M on a (a+b)MG=aMA+bMB

Et pour M=P

(a+b)PG=aPA+bPB=PQ+PS (en utilisant 1 et 2) puis =PR en utilisant 4 (cf règle du parallèlogramme)

dc ayant (a+b)PG=PR avec a+b non nul, on peut dire que PG et PR sont colinéaires et que G est sur la droite (PR)

G étant le bary de {A(a) B(b)} alors G est sur la droite (AB)

Conclusion G est l’intersection de (AB) et (PR)