Exos De Maths T°s

[winphoenix]

Bonsoir, voilà g ses petits exos à faire, si vous pouviez m'aider un peu se serait sympa.

Merci à vous.

Winphoenix

[elp]

Ex2

On a montré que si la propriété est vraie à l’ordre n alors elle est vraie à l’ordre n+1.

Mais cela ne suffit pas pour montrer que la propriété est vraie pour tout n.

Si n=0 on a 2 qui n’est pas divisible par 9

Si n=1 on a 11 etc.. donc la propriété n’est pas vérifiée pour tout n.

On pourrait démontrer avec les congruences que les restes sont toujours 2 .

Ex3

Il faut utiliser la formule du binôme en développant (1+a)^n on trouve tout de suite le résultat.

Ex4

Raisonnement par réc.

On vérifie facilement que la pro est vraie pour n=1

On suppose la prop vraie à l’ordre n

Dc somme(k=1,n de 1/k(k+1)) =n/(n+1)

Somme(k=1,n+1 de 1/k(k+1)))=somme(k=1,n de …)+1/(n+1)(n+2)=n/(n+1)+1/(n+1)(n+2)=

[n(n+2)+1]/(n+1)(n+2)=(n²+2n+1)/(n+1)(n+2)=(n+1)²/(n+1)(n+2)=(n+1)/(n+2)

je te laisse finir

[winphoenix]

Pour l'exo 2, peut on y arriver par un raisonnement par récurrence, car l'objet de ces exos c la récurrence ? Merci infiniment pour votre aide.

Winphoenix

[winphoenix]

Pardon je parlé de lexo 3 ...

[elp]

par récurrence ça me parait difficile de prouver l'hérédité.

C'est pas parce que tu fais la récurrence qu'il ne faut plus utiliser que ça !

Avec la formule du binôme, il faut une ligne pour la démo.

[winphoenix]

Bien entendu, cependant, il ne me semble pas que nous ayons vu la formule du binome en cours . C'est pour cela que je me posais la question ...

Sinon la formule du binome consiste en quoi ?

Merci encore

Winphoenix

[winphoenix]

Je remarque aussi que dans l'exo 2, la propostion A(n) est : "10^n+1 divisible par 9^n"

Pour n = 0, 10^0+1 = 2 et A(o) est vraie car divisible par 9^0 ki é 1 et 2 est bien divisible par 1. Par contre, pour n = 1, cela ne marche plus ... C'est la que je ne comprends plus ou l'exercice veut en venir ...

[elp]

j'ai lu 10^n+1 divisible par 9 et j'ai fait l'exo correctement avec cet énoncé.

A cause des " ", on ne lit pas bien !

Si ce n'est pas le bon énoncé ça change tout !

si c'est divisible par 9^n qu'il faut lire alors il faudrait dire qu'il existe k tel que 10^n+1=k*9^n et pas k*9 comme c'est écrit ds l'énoncé et il faudrait démontrer la divisibilité par 9^n+1. Il y a donc un problème ds le raisonnement (ce qui répond à la question posée !)

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la formule du binôme c'est celle qui donne le dévéloppement de (a+b)^n

(a+b)^n=

a^n+C1,n *a^(n-1)*b + C2,n *a^(n-2)*b^2 + Ck,n*a^(n-k)*b^k...+b^n

ici, on choisit b=1

(a+1)^1=a+1>=1+1a

(a+1)²=a²+2a+1>2a+1

(a+1)^3=a^3+3a²+3a+1>1+3a

(a+1)^4=a^4+4a^3+6a^2+4a+1>4a+1

tu vois qu'avec cette formule c'est simple, on écrit le développementet si on ne garde que les termes 1+na, on a bien une quantité plus petite (car a est positif)

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Solution par récurr

Je te laisse faire le début,

Supposons la pro vraie à l’ordre n.

On a dc (a+1)^n>=1+na

(a+1)^n+1=(a+1)^n*(a+1)(1+na)(1+a)>=1+a+na+na²

1+(n+1)a+na²>=1+(n+1)a

la pro est dc vraie à l’ordre n+1

je te laisse finir

[winphoenix]

Grand merci elp, pour l'exo 3, comment passez vous de 1+(n+1)a+na² à 1+(n+1)a ?

Merci encore.

Winphoenix

[elp]

Grand merci elp, pour l'exo 3, comment passez vous de 1+(n+1)a+na² à 1+(n+1)a ?

Merci encore.

Winphoenix

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[winphoenix]

Ben merci, ben j'ai encore un exo, je l'ai commencé, c'est sur les complexes.

Pour la question 1 :

Soit z = i

J'ai trouvé Z = 2 - i

Soit z = 1 - i

J'ai trouvé Z = -1

Question 2:

a) Soit z = x + i y et Z=X+iY

j'ai trouvé X = ((x-1)^2+y^2+2y)/((x-1)^2+y^2) et Y = (2x-2)/((x-1)^2+y^2)

B) Pour que Z soit un réel, Im(Z) = 0 donc fo résoudre l'équation Y = 0

j'ai trouvé que x = 1 et y j'arrive pa à le calculer ?? J'ai mis que l'ensemble E était la droite d'équation x = 1 ???

c) Pour que Z soit un imaginaire pur, Re(Z) = 0 donc résoudre X = 0

Mais la j'arrive pas à résoudre ....

Voilà je vous promet, c'est le dernier exo :P

Merci infiniment !!!

[winphoenix]

voilà le sujet

[elp]

1) je trouve comme toi 2-i et -1

2)je trouve X=(x²-2x+1+y²+2y)/[(x-1)²+y²] et Y=2(x-1)/[(x-1)²+y²]

comme toi

Z réel ssi x-1=0 ssi x=1 (attention z<>1 dc on ne peut avoir y=0 si x=1)

L’ensemble est la droite d’équation x=1 sauf le point de coordonnées (1 ;0)

tu avais bon

Z imaginaire pur ssi x²-2x+1+y²+2y=0

x²-2x+1+y²+2y+1-1=0

(x-1)²+(y+1)²=1

on a le cercle de centre(1 ;-1) de rayon 1 sauf le point de coord (1 ;0)

l’intersection des 2 ensembles (droite et cercle) est K(1 ;-2) (voir la figure que tu as faite, il ne faut pas prendre le point (1 ;0))

A(1) B(1-2i) et M(z)

z-1 est dc l’affixe du vecteur AM et z-1+2i est celle de BM

arg(BM,AM) =arg(z-1)-arg(z-1+2i)=arg[(z-1)/(z-1+2i)]= arg(Z)

Z réel ssi arg =k*pi dc ssi AM et BM sont colinéaires dc ssi M est sur la droite (AB)

(éliminer A(1 ;0))

pour l’intersection : Z à la fois réel pur et imaginaire pur n’est possible que si Z=0

dc z-1+2i=0

z=1-2i et on retrouve le pt K(1 ;-2)

[winphoenix]

Grand merciiiii elp !!!