Etude D'une Suite

[anais62]

Bonjour, je vous souhaite à tous de bonnes vacances tout d'abord.

Voila, pour le jour de la rentrée, jai une tonne de dm ( je ne sais pas pquoi on appelle ça des vacs ?!! lol ) et en maths, il y en a un qui me pose pb c'est pour cela que je sollicite votre aide. (surtout pour la 2eme partie) voila merci d'avance à touss .

ON définit pour tout entier n>0 la suite (Un) de nombres réels strictement positifs par Un = (n²/2^n)

1) Pour tout entier n>0 , on pose Vn = (Un+petit 1 )/Un

a. Montrer que lim Vn = 1/2

b. Montrer que pour tout entier naturel n>0 , Vn >1/2

c. Trouver le plus petit entier naturel N tel que Vn<3/4 ( On doit trouver N=5)

d. En déduire que si n N alors Un+petit 1 <3/4 Un

e. E n déduire que la suite (Un) est convergente.

On pose , pour tout entier naturel n 5, Sn = U5+ U6+U7+....+Un

2.ON se propose de montrer que (Sn)n>= 5 est convergente..

a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n>= 5 : Un (3/4)^(n-5) * U5

b.Montrer que pour tout entier naturel n 5 : Sn [1+(3/4)+(3/4)²+...+(3/4)^(n-5) ] * U5

c. En déduire que pour tout entier naturel n 5 , , Sn 4*U5

d. Montrer que la suite (Sn)n>= 5 est convergente et en déduire qu'elle est convergente.

[elp]

je te donne des indications

1)a)

Vn=Un+1/Un=[(n²+2n+1)/n²]*1/2

[(n²+2n+1)/n²] td vers 1 qd n td vers +00 dc Vn td vers ½

b) calcule Vn-1/2

tu verras que cette différence est >0 pour tout n dc Vn>1/2

c)Vn<3/4 ssi

0.5*(n+1)²/n²>3/4

on trouve n>1/((rac’3/2)-1) dc n>=5 dc la réponse est bien 5

d) n>=5 Vn<3/4 dc Un+1/Un<3/4 dc Un+1<(3/4)*Un (car Un>0)

e)

Un>0 et Un décroissante à partir de n=5 (car Un+1/Un<3/4 qui est <1)

Donc suite décroissante minorée dc converge

2)a)

U6<=(3/4)U5

On suppose que Un<=(3/4)^(n-5)*U5

Un+1<=Un*3/4<=(3/4)^(n-5)*U5*(3/4) dc (3/4)^(n+1-5)*U5

Je te laisse rédiger correctement la récurrence

b) on utilise la déf de Sn et les inégalités du a)

on met U5 en facteur et ds les [] on trouve 1 puis ¾ puis (3/4)² etc

c) ds les [], on a la somme de termes d’une suite géométrique de raison ¾ dont tu peux facilement trouver la somme (pense à (1-q^n)/(1-q)) et ensuite :

(1-(3/4)^n)/(1-3/4) < 1/(1-3/4) qui vaut 1/(1/4) dc 4

on arrive alors à Sn<=4*U5 pour n>=5

Sn est croissante car on passe de Sn à Sn+1 en ajoutant un nbre positif

Elle est majorée par 4*U5

Elle est dc convergente