Exo Spé Maths

[winphoenix]

Bonjour, voilà je bloque sur ces exercices de spé maths, et je dois avouer que ce que l'on fait en ce moment sur le raisonnement par récurrence ou encore les congruences ne m'inspirent pas plus que sa. Si vous pouviez me donner quelques explications pour ces exercices, se serait vraiment gentil. Merci par avance.

Winphoenix.

[elp]

90

n^3+11n=n^3+12n-n

12n divisible par 6 pour tout n, donc n^3+11n divisible par 6 ssi n^3-n divisible par 6

n^3-n=n(n-1)(n+1)

on a 3 nbres entiers consécutifs dc il y en a au moins un qui est divisible par 2 et il y en a un qui est divisible par 3 dc le produit est divisible par 6

128

les exposants des facteurs premiers sont pairs

240=2^4*3*5

on multiplie 240 par 3*5 dc par 15 pour avoir 3² et 5²

on a 3600=60²

147=3*7²

on multiplie par 3

147*3=441 (c’est 21²)

on multiplie par un carré et il faut que le dernier chiffre soit 9 et le résultat doit avoir 4 chiffres

on doit multiplier par 9

441*9=3969=63²

143

on va essayer de trouver des nombres congrus à 1 modulo 7

19~5 mod(7) (j’écris ~ pour congru) ça signifie que 19 et 5 ont le même reste quand on les divise par 7

23~2 mod(7)

19^52*23^41~5^52*2^41

5^52=(5^2)^26=25^26

2^41=2^26*2^15

5^52*2^41=25^26*2^26*2^15=(25*2)^26*2^15=50^26*2*15=50^26*(2^6)²*2^3=

50^26*64^2*2^3

50~1 mod(7)

64~1 mod(7)

8~1 mod(7)

dc le produit précédent est congru à 1 mod(7)

le reste est 1

168

(9n-1)*10^n+1=9n*10^n-10^n+1=9n*10^n-(10^n-1)

9n*10^n est divisible par 9

(10^n-1) est divisible par 9 (il s’écrit 999999…. Il y a n chiffres 9 ds son écriture)

la diff est dc divisible par 9

[winphoenix]

Merci elp, pour l'exercice 90, je dois trouver que c'est un multiple de 6 avec un raisonnement par récurrence. Par quoi dois-je commencer ?

Calculer [(n+1)^3+11(n+1)] - [n^3+11n] et trouver que cette différence est un multiple de 6?

J'ai effectué le calcul mais sa ne me mène a rien :

J'ai nommé Un = n^3+11n

Donc Pn : "Un = n^3 + 11n est un multiple de 6"

Initialisation: Pour n = 0, Uo= 0^3+11*0 = 0, or 0 est un multiple de 6 donc Po est vraie.

Hérédité : Supposons que Un= n^3+11n soit un multiple de 6 pour une valeur donnée de n :

Un+1 - Un = [(n+1)^3+11(n+1)] - [n^3+11n]

= (n+1)^3 + 11n + 11 - n^3 - 11n

= (n+1)^3 + 11 - n^3

La je n'arrive plus à continuer le calcul, comment dois-je mi prendre pour l'hérédité ?

Et pour l'exercice 128, je n'ai pas trop compris l'histoire des exposant pair. Si un nombre N a des exposants pairs a ses facteurs premiers, alors c'est un carré ? Mais alors par exemple 2^2*3^2 = 27 or 27 n'est pas un carré .???

Merci encore pour votre aide.

Winphoenix

[elp]

2^2*3^2=4*9=36 =6²

en élévant un nombre au carré, on multiplie les exposants de ses facteurs premiers par 2 et in versement si on veut trouver sa racine carrée, il fait les diviser par 2 donc ils sont pairs.

pour l'hérédité:

Pn est n^3+11n est divisible par 6

(n+1)^3+11(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+11n+11=

n^3+11n+12+3(n²+n)=[n^3+11n]+12+3(n²+n)=[n^3+11n]+12+3*n*(n+1)

a)

[n^3+11n] est divisible par 6

b)

12 est divisible par 6

c)

n(n+1) est divisible par 2 dc 3n(n+1) est divisible par 6

la somme de a) b) c) est dc divisible par 6 et la prop est dc vraie à l'ordre n+1

[winphoenix]

Lool, merci encore elp, et désolé pour le 3^2*2^2 = 27, je sais pas ce qui ma pri, on va dire que c'est une erreur de calcul

Grand merci encore un fois !!!

Winphoenix

[winphoenix]

C'est encore moi, j'ai trouvé une démonstration pour justifier l'histoire des exposants pairs:

Soit n = a^n * b^m avec a et b des facteurs premiers.

Si N= n^2

alors N= (a^n * b^m)^2 = a^2n * b^2m d'ou les exposants pairs.

Est ce que cette démonstration est acceptable ??

[elp]

tu as montré que qd tu élèves au carré, tu multiplies les exposants par 2.

Réciproquement si tu veux prendre la racine carrée, il faudra les diviser par 2 mais s'il y en a un qui est impair, c'est rapé et c'est que le nombre en question n'est pas un carré parfait

la rac de 3^2*5^4*17^2 est 3*5^2*17

la rac de 3^2*5^13 = rac 3^2*5^12*5=3*5^6*rac5 et ce n'est pas un entier

A plus