Suite De Récurrence

[anais62]

bonsoir, élève de terminale, j'ai un DM de 4 exos à rendre en math cependant, les autres etaient sur la continuité et un dernier exo me pose problème , il porte sur les suite ( auxiliaires) et j'aimerai pouvoir avoir une bonne moyenne grace à ce devoirs, c 'est^pour cela que je vous demande une aide. dc voila!!! merci d'avance...

on définit la suite (Un) par : {U0 = 1/2

Un+(petit 1)= (8Un+3)/(Un+6)

1)a) Montrer que pour tout n 1 : 1<Un<3

B) Montrer que la suite (Un) est croissante

2) On considère la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel , par

Vn= (Un-3)/(Un + 1 )

a) Démontrer que la suite (Vn) est géométrique et exprimer Vn en fonction de n .

B) En déduire une expression de Un en fonction de n.

[elp]

U0=0.5

U1=(4+3)/(0.5+6)=7/6.5=14/13 dc supérieur à 1

On va faire une démo par récurr.

On suppose 1<Un<3

Soit f(x)=(8x+3)/(x+6) (dc Un+1=f(Un)

f’(x)=[8(x+6)-1(8x+3)]/(x+6)²=45/(x+6)² dc positif pour tout x

f est dc croissante dc si 1<x<3 on a f(1)<f(x)<f(3) dc 11/7<f(x)<27/9 dc 1<f(x)<3

dc 1<Un<3 fait que 1<Un+1<3

je te laisse finir….

On sait que U1>Uo

On fait une démo par récurr

Supposons Un+1>Un

On a alors f(Un+1)>f(Un) car f croiss dc Un+2>Un+1

à toi de finir la récurrence

on va calculer Vn+1/Vn

on trouve :

[(Un+1)-3/(Un+1)+1]/[un-3/Un+1]

on remplace les (Un+1) par (8Un+3)/(Un+6)

j’écris x à la place de Un pour gagner du temps

[(8x+3)/(x+6)-3]/[(8x+3)/(x+6)-1]/[(x-3)/x+1)]

[8x+3-3x-18]/[8x+3+x+6]*[(x+1)/(x-3)]

[(5x-15)/(9x+9)]* [(x+1)/(x-3)]=[(5x-15)(x+1)]/[(9x+9)(x-3)]=5/9

on a dc Vn+1/Vn=5/9 pour tout n

c’est bien une suite géo de raison 5/9 etde 1er terme V0=-5/3

Vn=(-5/3)*(5/9)^n=-5^(n+1)/3^(2n+1) (car 9=3²)

Vn=(Un-3)/(Un+1) il faut exprimer Un en fonction de Vn

Si y=(x-3)/(x+1) alors xy+y=x-3 dc xy-x=-3-y et x(y-1)=-3-y dc x=(y+3)/(1-y)

Un=(Vn+3)/(1-Vn)

On remplace Vn par ce qui a été trouvé avant

Un=[9^(n+1)-5^(n+1)]/[3*9^n+5^(n+1)]