martym Posté(e) le 5 octobre 2005 Signaler Posté(e) le 5 octobre 2005 bonsoir a tous j'ai un probleme ouvert que je ne sais pas faire pourriez vous m'aider a le resoudre: voila le sujet Trouver les fonctions numériques definies et derivable sur R verifiant: quelqe soi x apartienne R quelqe soi y apartienne a R f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy f'(o)=a ou a est un nombre réel donné. merci de votre aide
E-Bahut elp Posté(e) le 5 octobre 2005 E-Bahut Signaler Posté(e) le 5 octobre 2005 Quels que soient x et y f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy On calcule avec y=0 f(x+0)=f(x)+f(0)+2*x*0 f(x)=f(x)+f(0)=f(x)+a si a est différent de 0, il n’y a pas de solution. On suppose dc que a=0 f(x+h)/h=[f(x)+f(h)+2xh]/h = f(x)/h + f(h)/h +2x [f(x+h)-f(x)]/h=f(h)/h + 2x Par hypothèse f est dérivable. On fait tendre h vers 0 On a f ’(x) =lim f(h)/h +2x = k + 2x (f dérivable dc continue; f(h) td vers f(0) dc vers 0 et lim f(h)/h est un nombre k sinon pas de dérivée) On en déduit f(x)=x²+kx Vérif : f(x+y)=(x+y)²+k(x+y)=x²+y²+2xy +kx +ky et f(x)+f(y)+2xy=x²+kx+y²+ky+2xy
martym Posté(e) le 6 octobre 2005 Auteur Signaler Posté(e) le 6 octobre 2005 merci beaucoup elp pour ta reponse.
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