Nombres Complexes

[pops]

Salut j'ai à faire un exercice pour un dm mais je vois vraiment pas comment l'aborder:

est un nombre réel dans l'intervalle [0;2 [

a)Résoudre l'équation z²-[(2^ +1)(cos )]z + 2^2 =0

" +1 et 2 sont les exposants des nombres 2"

Donner chaque solution sous forme trigonométrique.

J'ai essayé de calculer le discriminant mais je trouve

2^ +3 (cos + 1/2) - 8^2 .

Est-ce qu'on ne peut pas simplifier la première écriture? ou bien doit-on calculer le discriminant?

Merci

@+

Pops

[elp]

delta=b²-4ac=[2^(@+1)*cos(@)]²-4*2^(2@)=

[2^(@+1)]²*cos²(@)-2²*2^(2@)=

2^(2@+2)*cos²(@)-2^(2@+2)

on utilise (a^p)^q=a^(p*q) et a^p*a^q=a^(p+q)

delta=2^(2@+2)*[cos²(@)-1]=2^(2@+2)*(-sin²(@))=i²*sin²(@)*2^(2@+2)

=i²*sin²(@)*[2^(@+1)]²

maintenant, tu dois pouvoir continuer

[pops]

Merci pour ton aide,

y'a juste une étape que j'ai pas compris c'est celle-ci:

2^(2@+2)*[cos²(@)-1]=2^(2@+2)*(-sin²(@))

c'est le passage de cos² à sin ² que je comprends pas peux-tu m'expliquer

merci

@+

Pops

[elp]

cos²(@)+sin²(@)=1

[pops]

L'autre jour la prof a marqué au tableau:

2^@+1=(2^@+1)²

Elle a dit que ça nous servirait pour faire l'exercice, mais elle se trompe sur l'égalité ou pas?

(2^@+1)² = 2^@+2 ?

merci

@+

Pops

[elp]

(a^p)^q = a^(p*q)

dc (a^p)²=a^(2p)

[pops]

une fois qu'on arrive à =i²*sin²(@)*[2^(@+1)]²

deux solutions z'= [2^(@+1)*cos(@)]-( i²*sin²(@)*[2^(@+1)]²) / 2

et z''=[2^(@+1)*cos(@)]+( i²*sin²(@)*[2^(@+1)]²) / 2

est-ce qu'on peut enlever la racine carrée ?

( i²*sin²(@)*[2^(@+1)]²)= ixsin@x2^(@+1) ?

Merci

@+

Pops

[elp]

la racine carrée de sin²(@) est la valeur absolue de sin(@) dc c'est + ou - sin((@) suivant que ce sin est >0 ou <0; mais les solutions son (-b+rac(delta))/2 ou

(-b-rac(delta))/2 donc pas de pb avec le signe

tu mets isin(@)[2^(@+1)] pour la racine carrée comme tu voulais le faire .

[pops]

je bloque à la question b ) On considère les points A et B dont les affixes sont les solutions de l'équation. Déterminer @ de manière à ce que OAB soit un triangle équilatéral.

je trouve pour les solutions:

zA=(2^@+1).(cos@-isin@)

zB=(2^@+1).(cos@+isin@)

zA=(2^@+1)e^-i@

zB=(2^@+1)e^i@

Est-ce que je dois faire un système pour trouver @, mais @ doit être égal à : - /3 ; /3 ; -2 /3 ; 2 /3

Merci

@+

Pops

[elp]

les 3 côtés doivent être égaux

il est facile de calculer OA, OB et AB car tu connais les affixes de A,B et O !

OA et OB sont égaux de façon évidente et il te suffit de trouver @ pour que AB=OA

A plus si tu n'y arrives pas

[pops]

désolé mais j'ai vraiment trop de mal sur cet exercice, j'ai fait une erreur de calcul, on trouve za=e^-i@ et zb=e^i@

et donc pour prouver que OAB est équilatéral: on sait que OA=OB pour calculer |za-zb|=AB je suis bloqué, j'ai essayé par l'argument de (BO;OA)

On pose |za-zo|/|zo-zb|= /3 ce qui donne arg (za)+arg(zb)= /3

et je bloque pour calculer un argument de z(a) car je ne peux pas déduire la valeur de @...

Merci

@+

Pops

[elp]

Za=2^(@+1)e^-i@

Zb=2^(@+1)e^i@

O est l’origine

L’affixe de OA est Za et celle de OB est Zb.

Ds les 2 cas le module est 2^(@+1)

L’affixe de AB est Zb-Za=2^(@+1)e^i@- 2^(@+1)e^-i@=

2^(@+1)[cos@+isin@-cos(-@)-isin-@)]

dans les crochets il reste 2isin@

le module est donc 2^(@+1)*2rac(sin²@)

on le veut égal à 2^(@+1) dc 2*val absolue(sin@)=1

sin(@)=1/2 ou -1/2 et tu en déduis les valeurs de @