Les Nombres Complexes

[policinelle]

Pouvez-vous m'aider je dois rendre un DM de math pour demain voilà l'enoncé:

1)On se propose de résoudre l'équation(E):

z^4+7+24i=0

Soit a=2-i

a) Montrez que l'équation (E) est équivalente à:

z^4-a^4=0

B) Ecrivez z^4-a^4 sous la forme d'un produit de quatre polynômes de degré 1 et déduisez-en

les solutions de l'équation (E)

1) Soient dans le plan complexe les points A d'affixe a=2-i , B d'affixe b=1+2i , C d'affixe

c=-2+i et D d'affixe d=-1-2i

a) Calculez (d-a)/(b-a)

B) Démontrez que ABCD est un carré de centre 0

[elp]

a=2-i

calcule a², tu vas trouver 3-4i (2²-2*2*i+i² = 4-4i-1=3-4i)

calcule a^4, tu vas trouver -7-24i

z^4+7+24i=z^4-(-7-24i)=z^4-a^4

z^4-a^4=(z²)²-(a²)²=(z²-a²)(z²+a²)=(z²-a²)(z²-(ia)²)=

(z-a)(z+a)(z+ia)(z-ia)

je te laisse finir

(d-a)/(b-a)=(-1-2i-2+i)/(1+2i-2+i)=(-3-i)/(-1+3i)=

(-3-i)(-1-3i)/(-1+3i)(-1-3i)=10i/-10=-i

on remarque que ce résultat est un imaginaire pur donc AD et AB sont perpendiculaires

le module du résultat est 1 donc AD=AB

il est facile de montrer que CA et BD ont le même milieu O dc tu as un parallélog.

ce parall est un rectangle car il a 2 côtés consécutifs perpend

et ce rectangle est un carré car il a 2 côtés cons de même longueur