Specialite Maths

[Leti07]

bonjour à tous,

j'ai 4 exercices dans lesquels il y a beaucoup de démonstration à faire et vu que ce n'est pas trop mon truc je demande votre aide

Ex 1 :

1) a et b sont des entiers naturels non nuls; dans la division euclidienne de a par b, le reste r est superieur ou egal au quotient q. Prouver que si l'on divise a par b+1, on obtient le meme quotient....

donc a=bq+r

a=(b+1)q'+r'

Il "suffirait de montrer que q=q' mais je bloque notament avec lr et r' que je n'arrive pas à annuler.

2) On divise deux entiers a et b par leur difference. Comparer les quotients et les retes obtenues

Pour cette question , la phrase semble assez ambigue pour moi.Je n'arrive pas à traduire la phrase mathematiquement....

Ex 2 :

Montrer qu'il existe un unique couple ( q, r ) tels que : a=bq+r avec b < ou = r < 2b

où a € Z et b € N*.

Ici j'ai commencé par supposer qu'il y avait 2 couples verifiant les conditions.

Donc (1) a=bq+r b < ou = r < 2b

(2) a=bq' + r' b < ou = r' < 2b

je soustrait membre à membre : 0 = b(q-q') + (r-r')

il faut encore montrer que q=q' ( ou q-q' = 0 ) et que r=r' ( ou r-r'=0) mais je ne vous pas trop comment continuer pour aboutir à cela

Ex 3 :

soit n un entier naturel non nul et p un entier >ou=2

1) Montrer que p^n + 1 et p sont premiers entre eux ainsi que p^n et "somme de k=0 à n-1 de p^k" ( ce que j'ai traduit comme p^(n-1) )

deux entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1 mais comment montrer qu'il n'y a que 1 ?

J'avais pensé à prendre "d" l'ensemble des diviseurs commun des deux expressions puis montrer qu'il y en a que un et que c'est 1....mais je n'arrive toujours pas à le mettre en place

Ex 4 :

Soient m et n deux entiers strictemetn positif tel que m > n . soit r le reste de la division euclidienne de m par n.Montrer que le rete de la division euclidienne de

2^m -1 par 2^n - 1 est 2^r -1.

Determiner le PGCD de 2^m -1 et 2^n -1 en fonction de celui de m et n

Alors ici pour etre franche, je n'ai vraiment aucune idée

Je sais que c'et long mais à chaque exercice j'ai une idée sur ce qu'il faut faire mais au bout d'un moment je bloque dans la demo....

Merci d'avances pour les eventuelles futures aides

[elp]

pour le 1

a=b*q+r avec r<b

r est plus grand que q donc r=q+e (e étant un entier positif et tel que q+e<b)

a=b*q+r=b*q+q+e=q*(b+1)+e

dc si on divise a par b+1 on obtient le même quotient q

je vais étudier les autres exo qd j'aurai un moment

[elp]

Ex2

On suppose a>b (si a=b on ne peut diviser par a-b qui est nul)

a=q*(a-b)+r avec 0<=r<a-b

b=q’*(a-b)+r’ avec 0=<r’<a-b

a-b=q*(a-b)+r-q’*(a-b)-r’

a-b=(a-b)(q-q’)+r-r’

r-r’=(a-b)*(1-q+q’)

(r-r’)/(a-b)=1-q+q’

0<=r<a-b

b-a<-r’<=0

b-a<r-r’<a-b

-1<’r-r’)/(a-b)<1

-1<1-q+q'<1

1-q-q’ est un entier car q,q’ et 1 sont entiers donc il ne peut valoir que 0

conclusion q=q’+1 et r=r’

[Leti07]

merci elp !

juste une question pour le petit 2.

Faut il considerer le cas où a < b et refaire la emme demo ?

[Leti07]

juste ue dernière question sur ce 2)

Il y a un passage que je ne comprends pas trop :

b-a<-r’<=0

b-a<r-r’<a-b

-1<(r-r’)/(a-B)<1

-1<1-q+q'<1

Je ne voit pas trop d'où viennent les 4 inegalités

[Leti07]

C'est bon avec un peu de reflexion j'ai compris les inegalités !

[elp]

si b>a c'est pareil dc inutile de recommencer (il suffirait de remplacer a par b et b par a).

ex 3

Si p et p^n + 1 ne sont pas 1ers entre eux, il existe un entier d supérieur à 1 tel que p=k*d (k entier non nul) et p^n+1=k'*d

p=k*d dc p^n=(k^n)*(d^n) et p^n+1=1+(k^n)*(d^n)

dc p^n+1-(k^n)*(d^n)=1

k'*d-(k^n)*(d*n)=1

d divise le 1er membre donc divise le 2è donc d=1 dc contradiction dc les 2 nbs sont premiers entre eux

somme de k=0 à k=n-1 de p^k égale (1-p^n)/(1-p) (somme des termes d'une suite géom.) (sinon tu développes (1-p)*^la somme et tu trouveras 1-p^n)

ensuite tu procèdes comme juste avant

[elp]

Exo 4

Avec les notations habituelles m=qn+r et 0<=r<n

2^m=2^(qn+r)

2^m-1=2^(qn+r)-1=2^(qn+r)-2^r+2^r-1=2^qn*2^r-2^r+(2^r-1)=2^r[2^qn-1]+(2^r-1)

= 2^r[(2^n)^q-1]+(2^r-1)

on utilise l’identité a^q-b^q=(a-B)[a^(q-1)+a^(q-2)*b+a^(q=3)*b^2…………]

ici a= 2^n et son exposant est q et b= 1=1^q

on a dc 2^m-1=(2^r)*(2^n-1)[(2^n)^(q-1)+(2^n)^(q-2)+….] + (2^r-1)=

2^(n-1)*[(2^r)( (2^n)^(q-1)+(2^n)^(q-2)+…]+(2^r-1)

dc qd on divise 2^m-1 par 2^n-1, le quotient est ce qui est ds les [] et le reste est bien 2^r-1 (qui est plus petit que 2^n-1 car r <n)

difficile d’expliquer la fin :

qd tu cherches le pgdc de m et n tu utilises l’algorithme d’Euclide. Tu fais des divisions successives.

Tu poses la division de m par n, tu trouves un reste r, puis tu divises n par et tu trouves un reste r2 et ainsi de suite

Si tu cherches le pgdc de 2^m-1 et 2^n-1, tu fais la même chose et le 1er reste sera 2^r-1 (le même r que qd tu as divisé m par n vu le résultat de la 1ère question) ensuite tu divises 2^n-1 par 2^r-1 et le reste sera 2^r2-1 etc…

Conclusion : si d est le pgdc de m et n alors 2^d-1 sera celui de 2^m-1 et 2^n-1

A plus

[Leti07]

merci beaucoup elp pour ta patience et pour ton aide

passe une très bonne soirée !

Bye