Dm Troisieme

[meister]

boujours a tous, j'ai un probleme en math mon prof a donner un Dm et sur les 20 question il y a 8 qui m'on stoppé

1

une boite en forme de pavé droit , a un volume de 2001 cm3. Ses dimension en cm sont des nombres entier superieur a 1:

quelles sont ces dimensions?

2

83 875 683 470²-83 875 683 469*83 875 683 471

poser a=83 875 683 471 et calculer:

a²-(a-1)(a+1)

3

quels sont les entiers inferieurs a 20 qui sont somme de deux carrés (comme 29=5²+4² ou 45=6²+3²)

4

verifier l'égalité;

(a²+b²)(c²+d²)=(ac-bd)²+(ad+ bc)²

en deduire que le produit de deux sommes de deux carré est encore la sommes de deux carrés.

5

prouver que 2000 et 2005 sont somme de deux carré

6

supposo,s que V2 soit rationnel. on peut alors écrire V2=p/q avec p et q entiers et l'ont peut supposer que la fraction p/q est irreductible

verifier alors l'égalité p²=2q²

7

En deduire que p est pair.On pose alors p=2n(n entier)

8

montrer que 2n²=q². en deduire que p est pair

[elp]

volume=longueur*largeur*hauteur

2001=3*23*29

à toi de conclure !

pour le 2)

a²-(a+1)(a-1)=a²-(a²-1)=1

à toi de finir !

pour le 5)

2000=40²+20²

2005=5*401

5=(2²+1²) et 401=(20²+1²)

on utilise la "formule" du dessus

(2*20-1*1)²+(2*1+1*20)²=39²+22²=1521+484=2005

pour le dernier

p²=2q² donc p² est pair

si p est impair, son carré sera impair (car (2n+1)²=4n²+4n+1) or p² est pair dc c'est impossible et p est dc pair

p=2n dc p²=4n²

4n²=2q²

2n²=q² dc q est pair (en faisant le même raisonnement qu'avant)

p et q pairs tous les deux est impossible car p/q est donné irréductible au départ.

[meister]

MERCI BEAUCOUP!!!

[Mr.Maraudeur]

question 3/ (Au passage je te fais remarquer qu'il y a une erreur dans ton énoncé, sans doute une faute de frappe : 29=5²+2² et non pas 5²+4²)

1²+1²=2

2²+1²=5

3²+1²=10

4²+1²=17

2²+2²=8

3²+2²=13

4²+2²=20

3²+3²=18

S = {2,5,8,10,13,17,18,20}

6 et suiv.) Les questions ont deja été faites par elp, je ne fais que faire une remarque generale, pour t'apprendre a ne pas faire un exercice "tete baissée", mais plutot a reflechir a ce que tu fais : le but de ces 3 dernieres questions est de démontrer que V2 est irrationnel.

on utilise pour cela une démonstration par l'absurde en supposant que V2 est rationnel (ce qui est faux) . tout rationnel peut s'ecrire sur la forme M/P, ou M/P sont premiers entre eux. le but est ensuite de montrer que m et p sont pairs, donc que la fraction peut etre simplifiée par 2, donc M/P ne sont pas premiers entre eux, donc V2 n'est pas rationnel.

remarque : ( au vu des exercices proposés, j'imagine que tu es en 3e) dans ton programme de cette année tu verras une autre possibilité pour démontrer que V2 est irrationnel, avec la division euclidienne, en montrant que V2 ne peut pas s'ecrire sous une fraction finie ( V2=1/3/3/3/3/3/3/3.....)

si sa t'interesse je peux te donner la démonstration.

Amicalement, Mister Maraudeur.

[meister]

question 3/ (Au passage je te fais remarquer qu'il y a une erreur dans ton énoncé, sans doute une faute de frappe : 29=5²+2² et non pas 5²+4²)

[Mr.Maraudeur]

Mais de rien