Application De La Dérivation

[anais62]

bonjour j'ai une Question en math et j'aurais besoins d'une "illumination" de votre part. merci d'avance

Montrer que pour tout x dans [-pi/2; +pi/2], on a :

1-(x²/2) cos(x) <=1

[elp]

I=[-pi/2 ; +pi/2]

On travaille ds I pour cet exercice

Cos x<=1 pas de pb

1-x²/2<=cos x est à démontrer pour x ds I

Ca revient à démontrer que 1-x²/2-cos x <=0

on va étudier f(x)=1- x²/2-cos x pour x ds I

on calcule la dérivée : f’(x)= -x + sin x

il faut trouver le signe de f’(x) pour x ds I

on calcule la dérivée de f’(x)

f’’(x)= -1 +cos x

on voit tt de suite que f’’(x)<=0 pour x ds I

f’(x) est décroissante ds I

fais un tableau de variations avec les valeurs –pi/2 ; 0 ; pi/2

f’(x) est >0 ds la 1ère moitié de I, nulle en 0 et ensuite <0

f(x) est dc croissante ds la 1ère moitié de I, atteint son max en 0 puis décroit

Comme f(0)=0 , f(x) <=0 pour x ds I