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Dm Ts Integrales (lois Continues)


paul13

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  • E-Bahut

Voila le prof vient de nous donner ce dm pour lundi et comme l'ont vient de commencer ce chapitre je dois dire j'ai quelques soucis pour faire ces deux exercices si quelqu'un pourrait m'éclaircir ca serait bien symphatique. Merci par avance pour vos réponses :) .

Je vous ai joint le dm ce sont les exos 2 et 3 ( en cas de faible visibilité il faut zoomer un peu et c bon ;) )

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  • E-Bahut

1)

J’appelle Mo la masse initiale et M(t) la masse à l’instant t.

On a la relation suivante : M(t)=Mo*exp(-ht)

(j’écris h pour lambda)

si t=24100 (la période) alors M(t)=Mo/2

Mo/2=Mo*exp(-h*24100)

1/2=exp(-h*24100)

ln(1/2)=-h*24100

-ln(2)=-h*24100

h=ln(2)/24100

on a donc M(t)=Mo*exp(-((ln2)/24100)*t)

2)

M(500)=500*exp(-500ln(2)/24100)=492,86……

3)

2/3 décomposés donc reste 1/3

Mo/3=Mo*exp(-ln(2)t/24100)

1/3=exp(-ln(2)t/24100)

on fait comme au 1) et on trouve t=38197 ans (environ)

4)

la moitié est décomposée en une période (24100 ans)

il reste la moitié et la moitié de cette moitié (donc un quart de la quantité initiale)sera décomposée en une période aussi (encore 24100 ans).

Les 3/4 seront donc décomposés en 48200 ans.

(sinon on peut faire le calcul en prenant la « formule »)

autre exercice

1)

x²-8x+12=(x-6)(x-2)

x²-8x+12<0 ssi x ds ]2 ;6[

on tire x ds [0 ;4]

si x ds la 1ère moitié de cet intervalle le résultat est + et si x ds l’autre moitié alors le résultat est négatif donc la prob est 0.5

2)

C(3,5)*(0.5)^3*(0.5)^2=10*(0.5)^5

(bernouilli)

3)P(x=0) : (0.5)^5

P(x=1) : C(1,5)*(0.5)^1*(0.5)^4=5*(0.5)^5

P(x=2) : C(2,5)*(0.5)^2*(0.5)^5=10*(0.5)^5

P(x=3) :10*(0.5)^5

P(x=4) : 5*(0.5)^5

P(x=5= : (0.5)^5

E(x)=(0.5)^5*[0*1+1*5+2*10+3*10+4*5+5*1]=(0.5)^5*80=80*(1/32)=2.5

On peut trouver le résultat plus vite avec la « formule » E=np

n=5 taille de l’échantillon et p=0.5 dc E(x)= 5*0.5=2.5

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  • E-Bahut

et bien un grand merci elp pour cette solution une fois qu'on a la ca l'air bien plus facile mais pour y arriver c'est vraiment bcp plus dur surtout pour moi :blink: .

J'aurais aussi besoin d'aide encore cette fois ci pour l'exercice I lequel je pensait pouvoir faire mais une fois lancée je dois dire j'ai quelques souci, j'ai résussi la question 1) et la 4)b/ mais pour les autres questions je bloque vraiment comme la question 2 par exemple ou j'ai dérivé mais l'expression de la dérivée n'étant pas commode pour l'étude de signe je vois pas comment on pourrais faire autrement... je vous joint mais réponses a la question 1) et 4)b/ pour voir si j'ai fais d'erreurs et si quelqu'un pourrait m'aider pour les autres ca serait bien sympathique. Merci encore par avance pour vos réponses ;)

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  • E-Bahut

je n'ai pas tout détaillé

je te donne des indications

On trouve f(x+pi)=f(x)

Et f(-x)=f(x) dc y’y est axe de sym de la courbe

On se place ds [0 ;pi/2] car par sym par rapport à y’y on aura la courbe de –pi/2 à pi/2 puis comme f(x)=f(x+pi) on aura toute la courbe

F’(x)=[cos²x]’cos2x +[cos2x]’cos²x=-2cosxsinxcos2x-2sin2xcos²x

= -2cosx[sinxcos2x+sin2xcosx] = -2cosxsin3x

ds [o ;pi/2] : cosx est positif

sin3x est positif si x ds [0;pi/3] et nég ds [pi/3;pi/2]

conclusion f décroit pour x ds [0;pi/3] et croit pour x ds [pi/3;pi/2]

a)il faut utiliser les formules de duplication cos2x=2cos²x-1 etc….

f(x)=cos²xcos2x=cos²x(2cos²x-1)=2(cosx)^4-cos²x

on sait que cos2x=2cos²x-1 dc cos²x=(cos2x+1)/2

ensuite cos(x)^4=(cos²x)²=[(cos2x+1)/2°²=(cos²2x+2cos2x+1)/4

on remplace cos²2x par (cos4x+1)/2

on trouve cos(x)^4=(cos4x+4cos2x+3)/8

finalement f(x)=(cos4x+2cos2x+1)/4

b bis

f(x)+g(x)=cos2x

f(x)-g(x)=cos2x(cos²x-sin²x)

on ajoute membre à memebre et on a

2f(x)=

cos2x(1+cos²x-sin²x)=cos2x(1+cos2x)=cos2x+(cos2x)²=

cos2x+(cos4x+1)/2=(cos4x+2cos2x+1)/2 dc f(x)= (cos4x+2cos2x+1)/4

on trouve comme avant (ouf !)

maintenant il est facile de calculer l’intégrale

tu décomposes : int de cos4x puis de cos2x etc…

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