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Fonction X Vers Ln[u(x)]


kosak

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Je suis des cours de maths par correspondance et je ne m'en sors pas.

On me demande de préciser l'ensemble de définition de la fonction

f(x)=ln(ln(x))

Puis de calculer la dérivée de cette fonction et d'étudier le sens de variation de f. Je pense que f'(x)=1/x(1/x)

Et de donner une équation de la droite T tangente à la courbe C représentative de f, au point d'abscisse e

Déterminer les limites de g en 0 et en + inf de g(x)=2x-1+ln(x/(x+1)), préciser ces éventuelles asymptotes parallèles aux axes de coordonnées et étudier son sens de variation.

Démontrer que la droite D:y=2x-1 est asymptote oblique

Cordialement

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  • E-Bahut

1)

f(x)=ln(ln(x))

ln(a) n’existe que si a>0

dc il faut ds un 1er temps x >0 puis ds un 2è temps ln(x)>0 dc x>1

le dom est donc ]1 ;+00[

2)

la dérivée de ln(U) est U’/U

ici U=ln(x) dc U’=1/x

U’/U=(1/x)/ln(x)=1/(xln(x))

x>1 et ln(x)>0 dc leur produit est positif et f est croissante

3)

y-f(a)=f’(a)(x-a) est l’équation de la tgte à la courbe au pt d’abscisse a

ici a=e

f(e)=ln(lne)=ln(1)=0

f’(e)= 1/elne=1/e

y-0=(1/e)(x-e) dc y=(x/e)-1

4)g(x)=2x-1+ln(x/(x+1))

il faut x/(x+1) >0 dc x ds ]-00;-10;+00[

(tu ne me dis pas ds quel ensemble on définit g ds ton énoncé)

si x td vers 0 alors x/(x+1) td vers 0 et ln(x/(x+1) td vers -00 dc g(x) td vers -00

et x’x = asymptote verticale

si x td vers +00 alors x/(x+1) td vers 1 et son ln tend vers 0 dc g(x) td vers +00

la différence g(x) – (2x-1) est ln(x/(x+1)) et td vers 0 au voisinage de +00 dc y=2x-1 est asymptote à la courbe au voisinage de +00

calcul de la dérivée :

on pose U=x/(x+1)

on a U’=[1(x+1)-x(1)]/(x+1)²=1/(x+1)²

la dérivée de ln(x/(x+1)) est dc 1/(x+1)² divisé par x/(x+1)=1/[x(x+1)]

le dén est >0 dc c'est >0

g'(x)=2+1/[x(x+1)] est dc pos aussi et g est dc croiss

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