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Exercice Fonction 1s


EpHéMèRe

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Bonjour, j'ai un dm à rendre et un exercice me bloque.

On considère la fonction f définie sur I=]-00;+1[ par: f(x)= (ln (1-x)/1-x)) + x + 1

On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O,i,j) Unité graphique: 2 cm

Partie A:

Soit g la fonction définie sur I par g(x) = x² - 2x + ln(1-x)

1- Etudier la variation de g sur I

2- Calculer g(0). Etudier le signe de g(x) sur ]-00;1[

Partie B :

1-a- Calculer la limite de f en -00

b- Calculer la limite de f en +1 et interpréter graphiquement le résultat.

2- On admet que la dérivée f' de la fonction f vérifie l'égalité: f'(x)= g(x)/(1-x)²

En déduire les variations de f et dresser le tableau de variations de f sur I.

3- Soit la droite D d'équation y=x+1

a- Déterminer la position de C par rapport à D suivant les valeurs de x

B- Montrer que D est asymptote à C au voisinage de -00

Merci d'avance pour votre aide.

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  • E-Bahut

1)

A)

1) la dérivée de ln(U) est U’/U

la dérivée de ln(1-x) est dc -1/(1-x)

on a alors g’(x)=2x-2-1/(1-x)=2(x-1)+1(x-1)=[2(x-1)²+1]/(x-1)

ds I le num est tjs positif et le dén est tjs nég dc g’(x) nég et g(x) décroit ds I

g(0)=0

conclusion : g(x)>0 ds ]-00 ;0[

g(x)=0 si x=0

g(x)<0 ds ]0 ;1[

B)

1

a) soit X=1-x

x td vers -00 ssi X td vers +00

qd x td vers -00 :

comme ln(1-x)/(1-x) =ln(X)/X alors la limite est 0

x+1 td vers -00

résultat f(x) td vers -00

b) si x td vers 1-

1-x td vers 0+, ln(1-x) td vers -00 et le rapport td vers -00

x+1 td vers 2

la limite cherchée est dc -00 et dc existence d’une asymptote verticale d’équation x=1

2

f’(x)= g(x)/(1-x)²

le dén est tjs >0 ds I

f’(x) est dc du signe de g(x)

on utilise les résultats du A

f croissante ds ]-00 ;0[

décr ds ]0 ;+1[

le max est atteint qd x=0 (f(0)=1)

3

A

on calcule f(x)-(x+1)

on trouve ln(1-x)/(1-x)

on étudie son signe

si le signe est + c’est que C est au dessus de D etc..

1-x est >0 ds I donc il suffit d’étudier le signe de ln(1-x)

ln(1-x)>0 ssi 1-x>1 ssi x<0 dc C au dessus de D pour x ds ]-00 ;0[

C et D se coupent au pt de D (et C) d’abscisse 0 et d’ordonnée 1

C en dessous de D pour x ds ]0 ;1[

B

f(x)-(x+1)=ln(1-x)/(1-x)

td vers 0 qd x td vers -00 (cf début de l’ex au B)

dc D est bien asymp à C au voisinage de -00

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