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Fonctions Et Incompréhensions ...


puma35

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Bonjour, voici énoncé de l'exercice :

Le gérant d'une salle de spectacles a remarqué qu'en fixant le prix du billet de ses soirées a 20 €, il remplissait la totalité des 400 places dont il disposait.

Il a également noté que chaque augmentation du prix du billet de 1 € baissait le nombre de spectateurs de 10 personnes.

Toutefois, il ne peut augmenter le prix de ses places de plus de 20 €.

1) - Vérifiez que le montant de sa recette est égal à 8750 € s'il augmentez le prix de 5 €.

- Quel est le montant de sa recette s'il fixe le prix du billet à 28 € ?

2) On désigne par x le montant de la hausse exprimée en euros, sur le prix de vente de chaque billet par rapport au prix initial de 20 €.

- Déterminez l'intervalle I dans lequel x prend ses valeurs.

- Exprimer, en fonction de x, le prix de vente P de chaque billet .

- Exprimer, en fonction de x, le nombre N de spectateurs.

- En déduire que la recette R peut s'écrire, en fonction de x, sous la forme :

R(x) = -10x² + 200x + 8000

- Déterminer, par le calcul, le(s) prix de vente du billet lui permettant d'obtenir une recette de 8000 €.

3) - Pour quelle valeur de x la recette vous semble-t-elle la plus élevée ? Quelle vous semble être la valeur maximale de la recette ?

- Montrer que, pour tout x de I, on a : R(10) - R(x) = 10 (x-10)² ?

- En utilisant la question précédente, explique pourquoi, quel que soit x de I, on a : R(x) est inférieur a R(10). Que peut on en déduire ?

Voila un exercice que je n'arrive pas à faire, car j'ai été malade pendant une bonne partie du chapitre et je n'ai pas pû tout rattraper, si vous pouviez m'apportez vôtre aide, sinon je ne pourrais pas faire cet exercice, merci d'avance !

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  • E-Bahut

Bonjour,

1) - Vérifiez que le montant de sa recette est égal à 8750 € s'il augmentez le prix de 5 €.

Il perd 10 spect. à chaque fois qu'il augmente de 1€ donc en en augmenatnt de 5€, il perd 50 spect et n'en a plus que 350 qui paient chacun 25€

D'où multiplication :...x ...=8750

- Quel est le montant de sa recette s'il fixe le prix du billet à 28 € ?

Il perd alors 80 spect donc il lui en reste .... qui paient chacun 28€. Tu fais le calcul.

2) On désigne par x le montant de la hausse exprimée en euros, sur le prix de vente de chaque billet par rapport au prix initial de 20 €.

- Déterminez l'intervalle I dans lequel x prend ses valeurs.

x varie entre 0 et 20 par valeurs entières .

- Exprimer, en fonction de x, le prix de vente P de chaque billet .

P=20+x -->OK?

- Exprimer, en fonction de x, le nombre N de spectateurs.

Si x=1, alors N=400-10=400-10x

Si x=2, alors N=400-20=400-10x, etc.

Donc N=400-10x

- En déduire que la recette R peut s'écrire, en fonction de x, sous la forme :

R(x) = -10x² + 200x + 8000

Recette=R(x)=P*N=(20+x)(400-10x)

qui donne bien en développant : R(x) = -10x² + 200x + 8000

- Déterminer, par le calcul, le(s) prix de vente du billet lui permettant d'obtenir une recette de 8000 €.

Il faut alors : -10x²+200x+8000=8000

soit : -10x²+200x=0

Tu simplifies par 10 puis tu mets x en facteur et tu résous , ce qui donnera 2 solutions :x1=0 et x2=20

Et comme P=20+x, tu trouves P1=... et P2=...

Salut.

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  • E-Bahut

Bonjour,

je n'avais pas vu qu'il y avait une 3ème question!!

3) - Pour quelle valeur de x la recette vous semble-t-elle la plus élevée ? Quelle vous semble être la valeur maximale de la recette ?

A partir de :

R(x) = -10x² + 200x + 8000

Comment répondre à cette question ? J'avoue que je ne vois pas (Il y a une méthode utilisable en classe de 1ère et une autre qui est celle donnée ci-dessous par l'énoncé).

Sinon on peut dire, un peu au "pif" :

pour x=0 : R(0)=8000

pour x=20 : R(20)=8000

Essayons x=10 : R(10)=-10*10²+200*10+8000=9000.

Donc on peut penser que la recette semble la plus élevée pour x=10 (prix de la place à 30€ avec 300 spect soit : recette=300*30=9000, résultat trouvé

avec R(10)).

- Montrer que, pour tout x de I, on a : R(10) - R(x) = 10 (x-10)² ?

R(10)=9000 (voir ci-dessus)

R(10)-R(x)=9000 - (-10x²+200x+8000)=9000+10x²-200x-8000

................=10x²-200x+1000=10(x²-20x+100)=10(x-10)²

Car tu reconnais a²-2ab+b²=(a-b)² dans : x²-20x+100

- En utilisant la question précédente, explique pourquoi, quel que soit x de I, on a : R(x) est inférieur a R(10). Que peut on en déduire ?

Donc R(10) - R(x)=10(x-10)²

10 est >0 et (x-10)² est aussi >0 car un carré est tjrs >0

donc 10(x-10)²>0

donc R(10) - R(x)>0 et en faisant passer R(x) ds le membre de gauche :

R(x)<R(10)

On peut donc en déduire que la recette maximale est obtenue pour x=10

car R(10) est > à toute autre recette obtenue avec les autres valeurs de x comprises entre 0 et 20.

Je ne me reconnecte plus ds la journée : ne me demande donc pas d'aide supp. (à moi en tout cas).

Bon courage et salut.

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