[1ère S] Exercice

[pops]

Salut, y'a encore un exercice où j'arrive pas:

ABCD est un carré et M un point quelconque de (BD). H et K sont les projetés orthogonaux de M sur (AB) et (AD). Démontrer que les droites (CM) et (HK) sont perpendiculaires de deux façons:

a)sans utiliser derepère

b)en utilisant un repère orthonormal judicieusement choisi.

a) il faut sans doute prouver que vecteurCM¤vecteurHK=vecteur nul

Mais je n'ai pas trouvé quelle expression utilisée

B) là je vois pas du tout

Merci

@+

pops

[elp]

Les diagonales d’un carré sont les bissectrices de ses angles.

Les angles ABD et ADB mesurent 45 °.

Les triangles MBH et DKM sont rectangles et ont un angle de 45° donc ils sont isocèles et on a HB=HM puis KM=KD.

AHMK a 3 angles droits en A H et K donc c’est un rectangle et on AH=KM puis HM=AK.

On pose a=côté du carré et L=AH.

On a alors AH=KM=KD=L et BH=a-L=HM=AK

On calcule le produit scalaire de CM par KH

CM.KH=(CD+DK+KM).(KM+MH)=

CD.KM+CD.MH+DK.KM+DK.MH+KM.KM+KM.MH=

-aL+0+0+L(a-L)+L²+0=-aL+aL-L²+L²=0

dc les 2 vecteurs CM et KH sont orthogonaux.

On choisit le repère (B,BC,BA)

M est sur (BD) qui est la bissectrice de ABC donc son abscisse est égale à son ordonnée.

Soit x l’abscisse de M, on a donc :

M(x ;x) C(1 ;0) H(0 ;x) K(x ;1)

CM(1-x;-x) HK(x;1-x)

Leur pd scalaire est:

(1-x)*x+(-x)*(1-x) donc nul ……

[pops]

merci beaucoup

@+

Pops