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Dm Similitudes Spe Ts


paul13

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  • E-Bahut

Salut a tous voila le prof nous a donner ce dm en debut de semaine et il est a faire pour demain mais etant donne que l'on commence a peine cette lecon et que j'etais absent j'y arrive vraiment pas :( , je vous met l'énoncé :

Partie A :

Soit f une transformation du plan telle que, pour tout triangle ABC, son image A’B’C’ avec A’=f(A), B’=f(B ), C’=f© est telle que : A’B’/AB = B’C’/BC = C’A’/CA

1) Soit M un point du plan non situé sur la droite (AB)

a) Posons M’= f(M). Montrer que A’M’/AM = A’B’/AB = M’B’/MB

b/ Soit N un point du plan non situé sur la droite (AM).

En utilisant les triangles ABM, AMN et leurs images par f montrer que M’N’/MN = A’B’/AB

c) Soit N un point distinct de A situé sur la droite (AM). En utilisant le triangle MBN et son image par f montrer que M’N’/MN = A’B’/AB

2) Soit M un point de la droite (AB) distinct de A et de B.

a) Soit N un point non situé sur (AB).

En utilisant les triangles ABM, AMN et leurs images par f montrer que M’N’/MN = A’B’/AB

B/ Soit N un point de la droite (AB) distinct de A,B et M. Soit p un point non situé sur la droite (AB).

En utilisant les triangles MNP, AMP, ABP et leur images par f montrer que M’N’/MN = A’B’/AB

3) Des questions 1) et 2) déduire que f multiplie la distance par k = A’B’/AB et conclure

Partie B :

Soit f une transformation du plan qui conserve els angles. C'est-à-dire que si A, B, C sont trois points du plan avec A # B et A # C et d’images respectives A’ ; B’, C’ par f alors :

angle BAC = angle B’A’C’

1) Soit A,B,C sont trois points non alignés et A’,B’,C’ leurs images respectives par f . Montrer que A’B’C’ est un triangle, et en utilisant la formule des sinus dans les triangles ABC et A’B’C’, montrer que les triangles A’B’C’ est semblable au triangle ABC.

2)En utilisant la partie A, conclure.

Si quelqu'un pouvez me venir en aide ca serait sympa ;) . Merci par avance pour vos réponses .

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  • E-Bahut

Partie A

Avec beaucoup de prudence car je ne suis pas certain d’avoir saisi tout l’énoncé et je ne sais pas ce que tu as vu en cours (déf de la similitude et propriétés que tu connais déjà)

Je suppose que triangle ABC signifie que les 3 pts ne sont pas alignés ?

1

a)

M non sur (AB) dc AMB triangle donc A’M’/AM=A’B’/AB=M’B’/MB

b)

N non sur (AM) dc AMN triangle et A’M’/AM=A’N’/AN=M’N’/MN

On en déduit que A’B’/AB= M’N’/MN car égaux tous 2 à A’M’/AM

c)

N est sur (AM)

(AM) et (AB) se coupent en A dc N n’est pas sur (AB) car alors on aurait A=N ce qui est contraire à l’hypothèse.

NAB triangle dc A’N’/AN=A’B’/AB=B’N’/BN

De même N non sur (BM) et avec NMB : M’N’/MN=B’M’/BM=B’N’/BN

Et on a bien l’égalité demandée.

2)

il faut faire comme au 1)

(c’est un peu fastidieux)

ds tous les cas de figure A’B’/AB=M’N’/MN dc M’N’=(A’B’/AB)*MN

on a affaire à une similitude

Partie B

Si A,B, C ne sont pas alignés alors A’,B’,C’ ne le sont pas non plus puisque les angles se conservent

AC/sinB=AB/sinC=BC/sinA

A’C’/sinB’=A’B’/sinC’=B’C’/sinA’

Mais angle A= angle A’ idem pour B et B’ et C et C’ par hyp.

Dc A’C’/sinB=A’B’/sinC=B’C’/sinA

On en déduit que :

[A’C’/sinB]/[AC/sinB]=[ A’B’/sinC]/ [AB/sinC]

dc que A’C’/AC=A’B’/AB

idem avec A’C’/AC et B’C’/BC

on se retrouve avec les hypothèses du A ……

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