Suites Adjacentes

[Mimie]

Bonjour, j'éprouve quelques difficultés à faire cette exercice de maths car je bloque aux questions 3 et 4.Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ? Merci d'avance

Voici le sujet:

On considère la fonction f, définit sur l'intervalle [0 ; + infinit [ par: f(x)=1-x au carré*e puissance 1-x au carré

De 0 à 1, f(x) est décroissant

f(0)=1

f(1)=0

De 1 à + infinit, f(x) est croissant.

Limite de f(x) quand x tend vers + infinit= 1.

Partie A:

K est un nombre réel donnée. En utilisant la representation graphique, préciser en foncion de k le nombre de solutions dans l'intervalle [0 ; + infinit[ de l'équation f(x)=k

n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l'équation f(x)=1/n admet deux solutions distinctes.

Partie B:

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que l'équation f(x)=1/n admet deux solutions un et vn respectivement comprises dans l'intervalles [0 ; 1] et [1 ; + infinit[.

Sur le graphique, construire sur l'axe des abscisses les réels un et vn, pour n appartenant à l'ensemble {2;3;4}.

3/ Déterminer le sens de variation des suites (un) et (vn).

4 / Montrer que la suite de (un) est convergente et déterminer sa limite.

Procéder de même pour la suite (vn).

En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

[elp]

Je ne sais pas trop ce que tu as vu en cours, je te donne les indications suivantes :

A)

y=k où k est un réel est l’équation d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.

Il suffit de regarder quelles sont les droites de ce type qui coupent la représentation graphique de ta fonction.

On voit que si k>1 pas de pt d’intersection donc 0 solution

Si k=1 1 seul pt etc..

Si 0<k<1 2pts

Si k=0 1pt

b) 2 pts ssi 0<1/n<1 dc ssi n>1

B)si n>=2 f(x)=1/n aura 2 solutions voir le b du A)

On utilise le tableau des variations

f est continue strictement décroissante sur [0 ;1] dc f est une bijection de [0 ;1] sur l’intervalle [f(1) ; f(0)] =[0 ;1]

et sa bijection réciproque est continue et strictement décroissante.

De même f est strictement croissante sur [1 ; +00[ dc f bijection de cet intervalle sur son image qui est [0 ;1[ (voir limite que tu as trouvée qd x tend vers +00)

n>=2 donc 1/n ds [0 ;1/2]

tout nombre de cet intervalle a 2 antécédents : un seul ds [0 ;1] ( c’est u_n) et un seul ds [1 ;+00[ (c’est v_n) à cause des bijections dont on a parlé au dessus.

Si n augmente, 1/n décroit et son antécedent fait pareil si f est croissante ( donc v_n décroit)

…………………………………………..fait le contraire si f est décroissante (donc u_n croit)

U_n croissante majorée par 1 donc converge

V_n décroissante minorée par 1 donc converge

Si n tend vers +00 alors 1/n tend vers 0

En utilisant la bijection réciproque (qui est continue) on montre que u_n et v_n ont pour limite 1

1-u_n tend vers 0

v_n-1 td vers 0

la somme (1-u_n)+(v_n-1) = (v_n-u_n ) tend donc vers 0

U_n croissante, v_n décroissante et v_n-u_n tend vers 0 : on a bien 2 suites adjacentes