Dm De Maths

[loladu42]

Bjr,

Pouvez-vous m'aidez pour cet exos, svp.

Voici l'énoncé :

La suite (Un) est définie par U1 et pour tout n > 0 : U(n+1)=(6+Un)/(2+Un).

On définit aussi Vn=(Un-2)/(Un+3).

On admet que pour tout n, Un et Vn existent, à savoir Un différent de -2, Un différent de -3, Un différent de 2.

1) Montrer qu'il existe deux valeurs de U1 pour lequelles la suite est constante.

2) La fonction de récurrence est f(x)=(6+x)/(2+x). f'(x)=.... Elle est évidemment négative donc f est décroissante sur ]-2;+l'infini[. Sa représentation graphique admet pour asymptotes x=... (si x tend vers...) et y=... (si x tend vers +l'infini). En tracant et utilisant cette représentation graphique sur [0;3,5] sans autre explication que de compléter le texte précédent, conjecturer graphiquement le comportement de (Un).

3) On suppose U1=3. Montrer que la suite (Vn) est géométrique.

4) Calculer la limite de Vn puis celle de Un. Exprimer aussi Un en fonction de n.

Merci d'avance.

[elp]

1)u_n=u_n+1

x=(6+x)/(2+x)

x(2+x)=6+x

2x+x²-6-x=0

x²+x-6=0

2 sol: x=-3 et x=2 donc si u_1 prend une de ces valeurs alors u_2=u_1 puis u_3=u_2 etc..tous les termes sont égaux au premier.

2)on calcule la dérivée. utilise (uv)'=(u'v-uv')/v²

on trouve -4/(x+2)² qui est bien négative

asymptotes: y=1 (qd x td vers +00) et x=-2

3)v_1=1/6

il faut calculer v_n+1/v_n

v_n+1=(u_n+1 -2)/(u_n+1 + 3)

là, tu remplaces chaque u_n+1 par (6+u_n)/(2+u_n)

puis tu calcules v_n+1/v_n

tu vas trouver 1/4

pour tout n v_n+1/v_n est constant dc suite géom (raison 1/4, 1er terme 1/6)

v_n=(1/6)*(1/4)^(n-1)

tend vers 0 qd n tend vers +00

on reprend l'expression de v_n en fonction de u_n donnée ds l'énoncé et on trouve u_n en fonction de v_n

u_n=(3v_n+2)/(1-v_n)

v_n td vers 0 entraine u_n tend vers 2 qd n td vers +00

(difficile de tout rédiger avec tous les indices à écrire)

j'espère que cela t'aidera

[loladu42]

merci bocoup

[loladu42]

En regardant votre réponse je n'ai pas compris comment vous faîtes pour trouver 1/4 comme solution dans 3) car

quand on remplace chaque u_n+1 par (6+u_n)/(2+u_n) dans :

v_n+1=(u_n+1 -2)/(u_n+1 + 3)

je trouve que v_n+1=(2-u_n)/(12+4u_n)

et dc quand je calule v_n+1/v_n

je ne trouve pas 1/4

Pouvez-vous m'aidez svp. Merci

[elp]

tu trouves:

v_n+1=(2-u_n)/(12+4u_n)

et on a v_n=(u_n-2)/(u_n+3) donc

v_n+1/v_n=[(2-u_n)/(12+4u_n)]/[(u_n-2)/(u_n+3)]

donc au num on (2-u_n)(u_n+3) et au déno (12+4u_n)*(u_n-2) et ça fait -1/4 et non 1/4 comme je l'ai écrit par inattention.

on a donc:

v_n=(1/6)*(-1/4)^(n-1)

tend vers 0 qd n tend vers +00

et le reste ne change pas

A plus

[loladu42]

merci de votre aide