Dm Math 2nd : Abcd Un Parallélogramme Non Aplati D

[jess.30]

pouvez vous m'aidez j'ai un DM a réssoudre

Soit ABCD un parallélogramme non aplati de centre O.

I est le milieu de [AB] et J le milieu de [bC]. La droite (DI) coupe (AC) en M et la droite (DJ) coupe (AC) en P.

Le but du problème est de démontrer que: AM=MP=PC. On utilisera successivement trois méthodes, puis on réfléchira sur les avantages et les inconvénients de chacune d'elles.

Méthode1:en utilisant le repere(A;vecteur AI; vecteur AC).

a)Déterminer, par lecture graphique, les coordonnées des points A,I,C et B.

B) En deduire les coordonnées des points J et D( on pourra remarquer que le vecteur AD= vecteur BC).

c)Determiner l'abscisse des points M et P.

d)En utilisant la colinéarité des vecteurs DM et DI, determinerl'ordonnée m de M. e) Déterminer l'ordonnée p de P.

f)Comparer les vecteurs AM,MP et PC.En deduire que AM=MP=PC.

Méthode 2: en utilisant certaines propriete du centre de gravité d'un triangle.

a) Justifier que le point M est le centre de gravité du triangle ABD.

b)Exprimer le vecteur AM à l'aide du vecteur AO.

c)Exprimer le vecteur PC à l'aide du vecteur OC.

d)Déduire de B) et c) que le vecteur MP= vecteur AM et que le vecteur MP= vecteur PC.

Methode 3: en utilisant des propiretes geometrique.

a) Demontrer que la droite( BP) coupe le segment [DC] en son milieu K.

B) Démontrer que le quadrilatére BKDI est un parallélogramme. En deduire que les droites(BK) et(BI) sont parallèles.

c) En utilisant le théorème de thalès, demontrer que AM=MP.

d) Demontrer que MP=PC.

[Ben68]

Salut, ton sujet m'a inspiré donc j'ai commencé à le faire, pour le moment j'ai terminé la 2e méthode

a ) Nous savons que :

- ABD triangle

- O milieu de [DB]

- I milieu de [AB]

Or dans un triangle la médiane issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.

Donc [AO] est la médiane issue de A et [DI] est la médiane issue de D.

Or le point d'intersection des médianes est le centre de gravité,

donc M est le centre de gravité du triangle ABD.

b ) Propriété : Le centre de gravité d'un triangle se trouve aux 2/3 de la longueur de chaque médiane à partir du sommet correspondant et, ou à 1/3 de la longueur de chaque médiane à partir du milieu du côté opposé à ce sommet.

Donc vecteur AM = 2/3 du vecteur AO.

c ) Par la même démarche que la question b, on trouve vecteur PC = 2/3 du vecteur OC.

d ) Nous savons que :

- ABCD parallélogramme

- O milieu du parallélogramme

- vecteur AM = 2/3 du vecteur AO

- vecteur PC = 2/3 du vecteur OC

Etant donné que ABCD est un parallélogramme de centre O, on peut en déduire que vecteur AO = vecteur OC.

Donc vecteur AM = 2/3 du vecteur AO = 2/3 du vecteur OC = vecteur PC

D'autre part, d'après la propriété de la question b, vecteur MO = 1/3 du vecteur AO et vecteur OP = 1/3 du vecteur OC.

Comme vecteur AO = vecteur OC, vecteur MO = 1/3 du vecteur AO = 1/3 du vecteur OC = OP.

Donc vecteur MO = vecteur OP = 1/3 du vecteur AO.

Si on additionne les deux vecteurs, on obtient vecteur MP = 2 vecteurs MO = 2/3 du vecteur AO.

Donc vecteur AM = vecteur MP = vecteur PC.

Voilà j'éspère que cela va t'aider, dès demain je me penche sur le reste . Juste pour savoir c'est urgent? Tu doit le rendre pour quand?

[elp]

quelques indications:

Méthode 1

a)

A(0,0)

I(1,0)

C(0,1)

B(2,0)

b)

J milieu de [bC] dc AJ=0.5*(AB+AC) (relation entre vecteurs)

Avec a) on peut calculer les coor de AB et AC dc celles de AJ et celles de J.

AD=AC+CD=AC-AB car CD=BA puisque ABCD est un para.

Tu trouves ainsi les coor de D

c)

M et P sur (AC) donc leurs absc sont nulles

d)

on appelle y l’ord de M

DM(2,y-1) et DI(3,-1)

DM col à DI ssi 2*(-1)=3*(y-1)

On trouve y=1/3

On utilise la même méthode pour DP et DJ et on trouve 2/3 pour l’ord de P

Tu calcules les coord de AM, MP, PC et tu termines facilement

Méthode 3

a)

ds BDC, P est le centre de gravité (voir démo ds la méthode 2 qui t’a été envoyée)

(BP) est la 3ème médiane donc coupe le 3ème côté en son milieu et K est le milieu de [DC]

b)

K milieu de [DC] dc CK=CD/2=BA/2 en vecteurs

I milieu de [bA] par hyp donc BI=BA/2

On en déduit BI=CK ce qui prouve que BKDI est un parall. Et par conséquent : (BK)//(DI)

c)

Considère le tri APB et utilise Thalès (on en déduit AM=MP) (en vect)

Idem avec le tri DMC (on en déduit MP=PC)

Je te laisse finir