Petit Exo Sur Les Suites Ts

[ptitemelo]

voila mon exo

x est un réel différent de 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n:

1+x+x²+...+x^n= [1+x^(n+1)]/(1-x)

merci d'avance

[elp]

n'y aurait-il pas une erreur de signe dans ton énoncé ?

essaie avec n=1 puis avec n=2 pour voir.

A plus

[elp]

J'ai corrigé le signe.

x différent de 1.

Si n=1

1+x=(1-x²)/(1-x) car 1-x²=(1+x)(1-x)

si n=2

(1+x+x²)(1-x)=1+x+x²-x-x²-x^3=1-x^3

donc 1+x+x²=(1-x^3)/(1-x)

la relation est vraie pour n=1 et pour n=2. on se demande si elle est vraie pour tout n entier.

on la suppose vraie à l’ordre n

on a donc

1+x+x²+x^3+…+x^n=(1-x^(n+1))/(1-x)

et donc

1+x+x²+……+x^n+x^(n+1)= (1-x^(n+1))/(1-x)+x^(n+1)=[1-x^(n+1)+(1-x)*x^(n+1)]/(1-x)=

[1-x^(n+1)+x^(n+1)-x^(n+2)]/(1-x)=[1-x^(n+2)]/(1-x)

prop vraie à l’ordre n  prop vraie à l’ordre n+1

la prop étant vérifiée pour n=1, elle est vraie pour n=2 puis pour n=3 etc

Je te laisse le soin de rédiger tout cela correctement.

A plus

[ptitemelo]

merci beaucoup je vais essayer de comprendre maintenant !