Dm : Barycentre

[MonsieurRad]

Bonjour,

Je suis en 1ereS et j'aimerais un peu d'aide pour un exercice d'un devoir maison sur les barycentres.

Ex: Soit ABC un triangle non rectangle aux trois angles aigus x, y et z respectivement en A, B et C. On note a, b et c les longueurs respectives des segments [bC], [AC] et [AB].

Soit A1 le pied de la hauteur issue du point A.

1)a) Prouver que b*cos(z)*BA1 = c*cos(y)*CA1

B) En déduire que le point A1 est le barycentre des points pondérés (B;b*cos(z) ) et (C;c*cos(y) )

2)a) Démontrer que c*sin(y) = b*sin(z)

B) On pose c*sin(y) = b*sin(z) = k

Démontrer que le point A1 est le barycentre des points pondérés (B;kb*cos(z) ) et (C;kc*cos(y) )

En déduire que le point A1 est le barycentre des points pondérés (B; tan(y) ) et (C; tan(z) )

On s'assurera que tan(y) + tan(z) différent de 0

c) Soit B1 et C1 les pieds respectifs des hauteurs issues du point B et du point C.

Justifier que le point B1 est le barycentre des points pondérés (A;tan(x) ) et (C;tan(z) ) et que le point C1 est celui des points pondérés (A;tan(x) ) et (B;tan(y) )

3) Soit G le barycentre des points pondérés (A;tan(x)),(B;tan(y)),(C;tan(z))

On s'assurera que tan(x) + tan(y) + tan(z) différent de 0.

a) Démontrer que le point G appartient à la droite (AA1) puis à la droite (BB1) et enfin à la droite (CC1).

B) En déduire que G est l'orthocentre du triangle ABC.

4)a) Démontrer que sin(y)*cos(z) + cos(y) * sin(z) = sin(x)

B) En déduire que :

sin(y)*cos(z)*vecteurAB + cos(y)*sin(z)*vecteurAC = sin(x)*vecteur AA1

On démontrerait de même :

sin(z)*cos(x)*vecteurBC + cos(z)*sin(x)*vecteurBA = sin(y)*vecteur BB1

sin(x)*cos(y)*vecteurAB + cos(x)*sin(y)*vecteurCB = sin(z)*vecteur CC1

c) Déduire des égalités précédentes que :

sin²(x)*vecteur(AA1) + sin²(y)*vecteurBB1 + sin²(z)*vecteurCC1 = 0(en vecteur)

d) En déduire que a²*vecteur(AA1) + b²*vecteurBB1 + c²*vecteurCC1 = 0(en vecteur)

Voilà j'ai déjà fait l'exercice jusqu'à la question 2)a) mais je suis bloqué à la question 2)B) . Merci de m'aider.

J'ai vraiment besoin d'aide.

Merci d'avance

[elp]

aide pour les 2 messages

Calculs à vérifier et rédaction à améliorer !! (Trop long à rédiger en détails !) (mettre les --> sur les vecteurs)

Cela va t’aider qd même

M,G,I,G’ semblent alignés

On va le démontrer ds la suite de l’exercice

Par construction des sym par rapport aux milieux des côtés :

MBA’C est un parallèlogramme ainsi que MAC’B et MAB’C

On a les relations vectorielles suivantes :

MA+MB=MC’ MA+MC=MB’ MB+MC=MA’

IA+IA’=0 car I milieu de [AA’]

G’A’+G’B’+G’C’=0 (car G’ ctre de gravité du tr A’B’C’)

A’B+A’C+mA’M=A’M+MB+A’M+MC+mA’M

On remplace MB+MC par MA’

On a : A’M(1+1-1+m)=(m+1)A’M

Si on choisit m=-1 on trouve le vecteur nul et A’ est le bary de B,1 C,1 et M,-1

On en déduit que (1+1-1)IA’=1*IB+1*IC-1*IM

IA’=IB+IC-IM

Mais IA’=-IA car i milieu de [AA’]

-IA=IB+IC-IM

0=IA+IB+IC-IM

dc I bary de A,1 B,1 C,1 et M,-1

Si J est le milieu de [bB’] on démontre en permutant les pts A et B que J est le bary de B,1 A,1 C,1 et M,-1

Dc J=I

Idem pour le milieu de [CC’]

Les 3 segments dont on te parle ont bien le même milieu qui est I

I bary de A,1 B,1 C,1 et M,-1

On remplace les 3 premiers pts par leur bary (donc G) affecté du coeff 3

I est le bary de G,3 et M,-1

Cela prouve que I,G,M sont alignés et tu trouveras facilement que MG=2*GI

G’ est le ctre de grav de A’B’C’ donc MA’+MB’+MC’=3MG’

On remplace (voir le début de l’exo)

MB+MC+MA+MC+MA+MB=3MG’

2(MA+MB+MC)=3MG’

2*3MG=3MG’ (car G centre de gr de ABC)

6MG=3MG’MG’=2MG dc M,G,M’ sont alignés etcomme on a vu que I,G,M sont alignés : les 4 pts sont alignés

pb 2

les 3 angles sont aigus dc les tangentes sont positives (la somme jamais nulle)

chaque pied de hauteurs est ds le côté qui lui est associé

on fait comme en 3ème ! avec les tr rectangles ABA1 et ACA1

b*cosz=CA1 et c*cosy=BA1

b*cosz*BA1=CA1*BA1 et c*cosy*CA1=BA1*CA1

dc b*cosz*BA1= c*cosy*CA1

A1 est entre B et C sur (BC) dc c’est le bary ………

AA1=c*siny et AA1=b*sinz dc c*siny=b*sinz (= k)

A1 bary de B,b*cosz et C,c*cosy dc

A1 bary de B,b*cosz*k et C,c*cosy*k dc

A1 bary de B,c*siny*b*cosz et C,c*cosy*b*sinz dc en divisant les coeff par bc*cosz*cosy

A1 bary de B,tany et C,c*tanz (nb la somme des tan est non nulle car angles aigus)

Idem avec B1 et A,tanx C,tanz

C1 et A,tanx B, tany

G bary de A,tanx B,tany C,tanz

On remplace les pts A et B par leur bary C1 affecté du coeff tanx+tany

Dc G bary de C1, tanx+tany et C,tanz

G est dc sur la droite CC1 qui est une hauteur de ABC

Idem avec la droite AA1 (et la droite BB1)

G sur les 3 hauteurs dc orthocentre

sinycosz+sinzcosy=sin(z+y)=sin(pi-z-y)=sin x car x+y+z=pi

A1 bary B,tany C,tanz

On multiplie les coeff par cosz*cosy

A1 bary B,sinycosz C,sinzcosy

Dc AA1(sinycosz +sinzcosy)=AB sinycosz+AC sinzcosy

AA1*sinx= AB sinycosz+AC sinzcosy (égalité 1)

sin(z)*cos(x)*vecteurBC + cos(z)*sin(x)*vecteurBA = sin(y)*vecteur BB1 (égalité 2)

sin(x)*cos(y)*vecteurCA + cos(x)*sin(y)*vecteurCB = sin(z)*vecteur CC1 (attention c’est CA et pas AB) (égalité 3)

on multiplie les 2 membres de (1) par sin x

on multiplie les 2 membres de (1) par sin y

on multiplie les 2 membres de (1) par sin z

on ajoute membre à membre et on trouve tt de suite l’égalité demandée

pour la fin :on utilise la relation a/sinx = b/siny = c/sinz =2R on remplace sin x par a/2R etc et on trouve ce qu’il faut !

[MonsieurRad]

Merci beaucoup pour cette précieuse aide . Pourriez-voius cependant me rééxpliquer la question 4 ? Merci par avance .

[MonsieurRad]

Pourriez-vous également m'aider pour la question 1, et 2)a) ?

Merci

Et si quelqu'un d'autre peut m'envoyer tout l'exercice, ce serait très aimable.

Merci par avance.

[elp]

Je reprends à partir de 4) en détaillant un peu plus(il s’agit d’égalités entre vecteurs)

AB sin(y)*cosz+AC sin(z)*cos(y) = AA1*sinx

On multiplie les 2 mbres par sinx et on a

AB sin(y)cos(z)sin(x)+AC sin(z)cos(y)sin(x) = AA1*sin²(x)

On fait la même chose avec les 2 autres égalités

sin(z)*cos(x)*sin(y)* BC + cos(z)*sin(x)*sin(y)*BA = sin²(y)* BB1

sin(x)*cos(y)*sin(z)*CA + cos(x)*sin(y)*sin(z)* CB = sin²(z)* CC1

on ajoute m à m

le 1er membre est nul (élimination de termes 2 à 2, BA+AB=0,CA+AC=0,BC+CB=0) et le 2ème est ce qui est écrit ds l’énoncé

on a sin²x*AA1+sin²y*BB1+sin²z*CC1=0

sinx=a/2R (R=rayon du cercle circonscrit au triangle, c’est un résultat du cours)

siny=b/2R

sinz=c/2R

on a en remplaçant ds la dernière égalité démontrée:

(a²/4R²)*AA1+(b²/4R²)*BB1+(c²/4R²)*CC1=0

on multiplie par 4R²

on a:

a²*AA1+b²*BB1+c²*CC1=0