Complexe - Rotation - Isométrie

[el-rital]

bonjour, j'ai un petit problème pour faire cette exercice qui figure dans mon DM :

Gamma est le cercle de centre O et de rayon 2V2

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct ( O ; vec.u ; vec.v )

1) A tout point M d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' telle que :

z' = z² - 2(1+i)z

On pose z= x + iy et z' = x' + iy' avec x,x',y et y' 4 nombres réels.

a ) Exprimer x' et y' rn fonction de x et y.

J'ai remplacé dans la formule z et z' respectivement par x+iy et x'+iy' et je trouve :

x' = x² - y² -2x + 2y

y'= 2xy - 2y - 2x

b ) Soit H l'ensemble des points M tels que z' soit un nombre réel.

Montrez que H est la représentation graphique d'une fonction h que l'on déterminera ( l'étude de h n'et pas demandeé). H est tracée sur le graphique ci-contre.

Donc sur le graphique j'ai l'impression que la fonction est (x+1) / (x-1) donc il faudrait retrouver analytiquement ce résulat

- z' est un réel si et seulement si ca partie imaginaire est nulle donc si y' = 0

il faut résoudre 2xy - 2y - 2x = 0 mais quands je résouds je ne tombe pas sur une fonction à la fin donc je ne sais pas si c'est du à la methode de résolution ou à une faute dans l'expression du y'.

2) Montrer que le point a d'affixe a=2(1+i) appartient à gamma et H

pour montrer qu'il appartient à gamma il faut que | a | ( module de a ) soit égale au rayon de gamma donc à 2V2

|a| = V8 = 2V2 donc il appartient à gamma mais je ne vois pas comment prouvé qu'il appartient à H

3 ) soit R la rotation de centre O et d'angle 2pi/3. On note B et C les points tel que R( A) = B et R ( C ) = A

a ) Montrer que R( B ) = C et que les triangles OAB, OBC et OCA sont isométriques.

pour montrer que R ( B ) = C je ne vois pas vraiment comment faire.

b ) quelle est la nature du triangle ABC ?

Il est équilatéral car vu que les triangles sont isométriques on a AB=AC=CB

c) Montrer que B et C appartiennent à gamma et H

Ici pour montrer que les 2 points appartiennent à gamma je pensais à écrire tout d'abord A sous forme trigonométrique et ensuite ajouté à son argument 2pi/3 pour trouver la forme trigonometrique de B et en déduire son ecriture complexe pour ensuite calculé la longueur OB et voir si ca vaut 2V2 mais je ne sais pas trop si le principe et juste.

Voilà je ne sais pas si quelqu'un sera arrivée jusque à la fin lol mais bon un peu d'aide me serait d'un grand secours

[elp]

2xy-2x-2y=0 c'est bon!

xy-x-y=0

y(x-1)=x et si x différent de 1: y=x/(x-1)

A d'affixe a=2+2i a pour coordonnées x=2 et y=2

on calcule xy-x-y=2*2-2-2=0 donc A est sur H

la distance OA = rac(2²+2²)=2*rac(2) donc A est sur le cercle

R©=A dc angle de vect (OC,OA)=2pi/3 (+2kpi) et OC=OA

R(A)=B dc------------------(OA,OB)=2pi/3 (+2kpi) et OA=OB

(OC,OB)=(OC,OA)+(OA,OB)=4pi/3 (+2kpi)

(OB,OC)=-4pi/3 (+2kpi) = 2pi/3 (2kpi) et comme OB=OC (car tous 2 égaux à OA) on a R(B)=C

pour la fin j'utilise z'=z²-2(1+i)z

a peut s'écrire 2rac(2)*exp(i*pi/4)

l'affixe b de B: 2rac(2)*exp(i*pi/4)*exp(i*2pi/3)=2rac(2)*exp(i*11pi/12)

je calcule E= b²-2(1+i)*b

1+i=rac(2)*exp(i*pi/4)

E= 8*exp(i*11pi/6)-2*rac(2)exp(i*pi/4)*2*rac(2)exp(i*11pi/12)

E=8*exp(i*11pi/6)-8exp(i*14pi/12)

la partie imaginaire de E est 8sin(11pi/6)-8sin(7pi/6) =0 dc B est sur H

il faut faire la même chose pour C

A plus

[el-rital]

merci beaucoup elp, ca me parait plus clair surtout pour le 3. c )

A plus,

Bonne soirée