Exercice 1ère S

[pops]

Salut tout le monde je suis bloqué sur un exercice sur les barycentres:

ABCD est un tétraèdre, on considère:

E le barycentre de (A,-1) (B,2) (C,-3)

F le milieu de [ED]

G le barycentre de (A, 1) (D,2)

H le barycentre de (B,2) (C,-3)

1°) démontrer que F, G et H sont alignés

2°)Démontrer que B, C, F et G sont coplanaires

J'arrive à placer le pont E car c'est l'isobarycentre de (A,-1) (H,-1): théorème du barycentre partiel.

Je connais la méthode pour prouver que trois points sont alignés on fait apparaître l'un d'entre eux comme barycentre des deux autres mais je n'y arrive pas.

Merci

@+

Pops

[elp]

il y a peut-être plus simple

on va exprimer tous les vecteurs en fonction des vecteurs AB,AC,AD

En fait, on rapporte l'espace au repère d'origine A et dont les v de base sont AB,AC,AD

Par déf des bary, on a quel que soit M:

-MA+2MB-3MC=-2ME

ME+MD=2MF

MA+2MD=3MG

2MB-3MC=-MH

On choisit M=A

2AB-3AC=-2AE donc AE=-AB+(3/2)AC

AE+AD=2AF = AD+(3/2)AC-AB (en utilisant ce qui est au dessus)

2AD=3AG dc AG=2/3 AD

2AB-3AC=-AH

ds la base AB,AC,AD on en déduit les coord des points

E(-1;3/2;0)

G(0;0;2/3)

H(-2;3;0)

F(-1/2;3/4;1/2)

Le plus dur est fait !

Tu calcules les coord de GH; celles de GF, celles de 4GF et tu pourras conclure !

pour la dernière question

B(1;0;0)

C(0;1;0)

Calcule les coord de BC,BG,BF

tu vas trouver que BF=3/4BG+3/4BC et tu pourras conclure.