Dm Un Peu Dur

[Kam[ahl]]

Bonjours,j'ai un DM et pas moyen de trouver la solution,si qqun pouvait me donner juste un peu d'aide pour le commencer ca serait cool

Equations du 4eme degré :

1) Montrer qu'en posant X=x+(1/x) , toute equation de la forme x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 se ramene a une equation du second degré.

2) Application : Resoudre :

x^4-x^3+5x2-x+1=0

x^4+4x^3-3x^2+4x+1=0

3) Généralisation :

a) Montrer que l'equation :

x^4+ax^3+bx^2+kax+k^2=0 ( avec k different de zero )

peut etre ramené a une equation du second degré par changement de variable X=x+(k/x)

B) Resoudre les equations :

x^4-3x^3+4x^2-6x+4=0

4x^4-4x^3-11x^2+6x+9=0

Voilà tout le devoir mais juste un peu d'aide pour le debut me conviendrait deja ^^

Merci d'avance

[elp]

x=0 n'est pas solution de ton équation, on pose donc x différent de 0.

remarque préliminaire:

(x+1/x)²=x²+2*x*1/x+(1/x)²=x²+(1/x)²+2

x^4+ax^3+bx^2+ax+1=x²(x²+ax+b+a/x+1/x²)=

x²[x²+(1/x)²+2-2+b+a(x+1/x)]=

x²[X²-2+b+aX]=

x²[X²+aX+(b-2)]

comme x différent de zéro, ton équation se ramène à [X²+aX+(b-2)]=0

c'est bien une équ du 2è degré qui est facile à résoudre car ds la suite du DM

tu connais a et b (donc b-2).

je te laisse les calculs !

généralisation: on fait comme avant

(x+k/x)²=x²+(k/x)²+2k

x²(x²+ax+b+ka/x+k²/x²)=

x²[(x²+(k/x)²+2k)-2k + a(x+k/x)+b]

x²[X²-2k+aX+b]=

x²[X²+aX+b-2k]

x=0 ne peut être solution car on dit k diff de 0

l'équ se ramène à X²+aX+b-2k=0

pour la 1ère équat tu as facilement a,b,k

pour la 2è, tu dois d'abord mettre 4 en facteur

bon courage pour les calculs

[Kam[ahl]]

Ha oui ok,merci bcp pour l'aide, j'arrivais pas a trouver comment faire