Nb Complexes Et Suites Adjacentes

[Marshmallow Man]

Voici lénoncé de deux exercices qui me posent problème :

et

Par avance merci

[elp]

question 1)

Vo-Uo=3-2=1 donc la propriété est vérifiée à l'ordre 1

Supposons que cette prop est vraie à l'ordre n

on a donc Vn-Un>0

on calcule Vn+1-Un+1 (en utilisant le début de l'énoncé)

on trouve (Vn-Un)/5 donc c'est un nbre positif

je te laisse finir la récurrence

question 2)

on calcule (Vn+1-Un+1)/(Vn-Un) on trouve 1/5

on a donc une suite géométrique de raison 1/5

sa limite quand n tend vers +00 est 0, ce qui veut dire que Vn-Un tend vers 0 quand n tend vers +00

2 suites sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante et si la limite de leur différence est 0 quand n tend vers +00

la dernière condition est remplie

on va montrer que U est croissante et que V est décroissante.

je calcule Un+1-Un et je trouve 2*(Vn-Un)/5 donc un nb positif

U est donc croissante

on calcule Vn+1-Vn et on trouve 2*(Un-Vn)/5 donc un nb < 0 donc suite décroiss.

on a bien 2 suites adjacentes ce qui fait qu'elles sont convergentes et ont la même limite.

(remarque qui va servir après !)

on calcule Un+1+Vn+1 et on trouve Un+Vn

la suite est constante et le terme est Uo+Vo=5

Un+Vn vaut toujours 5

on utilise la remarque et on trouve la limite égale à 2.5

je m'occupe de l'autre exo après

A plus tard

[elp]

2ème ex

j²=-1/2-i*(rac(3))/2

on trouve facilement que 1+j+j²=0

ss forme trigo

j = e^i*2pi/3

j² = e^i*4pi/3

j^3 = e^i*6pi/3= e^i*6pi = cos 6pi + i*sin 6pi = 1

1+j+j²=0 donc 1+j = -j² donc u^1=-j²

pour n=0 on a bien u^(2n+1)=-j^(n+2)

on a la pro vraie à l'ordre 0.

on la suppose vraie à l'ordre n donc

supposons que u^(2n+1)=-j^(n+2)

si n augmente de 1 on doit calculer u^(2n+3)

c'est égal à u^(2n+1)*u²

u²=(1+j)²=1+2j+j² =1+j+j²+j=0+j =j (en utilisant le début de l'ex)

on a finalement u^(2n+3)=u^(2n+1)*j=-j^(n+2)*j=-j^(n+3)

u^((2*(n+1)+1)=-j^(n+1 +2)

reste à bien rédiger ....

u^2n = u^(2n+1)/u = -j^(n+2)/(1+j) mais 1+j=-j² (voir le début de l'exo)

donc on a -j^(n+2)/-j²=j^n

u^24=j^12=(j^3)^4=1^4=1

u^31=(u^30)*u=(j^15*)u=((j^3)^5)*u=1*u=u=1+j=1/2+irac(3)/2

calculs à vérifier, une erreur étant toujours possible

Est-ce que tout cela te va ?

[Marshmallow Man]

Merci beaucoup c'est nikel