Probleme Sur Les Logarithme

[didi10]

pouvez vous maider a faire cette exercice car je n'arrive pa a le faire merci

une entreprise fabrique une produit en quantité x, exprimée en milliers de tonnes.

le cout total de fabrication est donné pour x E[0,5] par

Ct(x)= x^2/4+9/2 ln(x+1)

les couts sont exprimés en centaine de milliers d'euros.

A)etude d'une fonction auxiliaire

on considère la fonction f definie sur [0,5]par:

f(x)=x^2/2+9x/x+1 - 9ln(x+1)

1) calculer f'(x)

verifier que l'on peut écrire f'(x)= x(x-2) (x+4)/(x+1)^2

2) etablir le tableau des variations de f sur [0;5]

3) en deduire que f s'annule sur ]0;5] pour une valeur unique a.

4) determiner un encadrement a 10^-3 près, de a (on precisera la methode utilisée)

5) deduire des resultats précédents le signe f sur [0;5].

B) etude d'un cout moyen Cm

la fonction cout moyen Cm est definie sur ]0;5] par

Cm(x)= Ct(x)/x=x/4+9/2 ln(x+1)/x

1)calculer Cm'(x)

verifier que l'on peut écrire Cm'(x)=f(x)/2x^2 ou f est la fonction auxiliaire de la question A

2) etudier le sens de variation de Cm sur ]0;5]

3) pour quelle production l'entreprise a-t-elle un cout moyen minimal, exprimé en euros par tonne?

quel est ce cout?

[elp]

f'(x)=x+9/(x+1)²-9/(x+1) voir réponse de l'autre jour.

f'(x)=x+9[1/(x+1)²-1/(x+1)]=

x+9[1-(x+1)]/(x+1)²=x+9(-x)/(x+1)²=x[1-9/(x+1)²]=

x[(x+1)²-9]/(x+1)²=x(x+1+3)(x+1-3)/(x+1)²=x(x+4)(x-2)/(x+1)²

il faut faire un tableau de signes par exemple pour trouver le signe de f' quand x est entre 0 et 5

tu verras que f'<0 entre 0 et 2 puis >0 de 2 à 5 (vaut 0 en 0 et en2)

f(0)=0

f(2)=8-9ln3 est le min et est négatif

f(5)=20-9ln(6) est positif

f est strictement croissante ds [2;5]

f(2)<0

f(5)>0 donc tu as une seule valeur de x entre 2 et 5 telle que f(x)=0

c'est le nombre a que tu cherches (ensuite utilisation de la calculatrice)

f<0 entre 0 et a puis >0 entre a et 5

le coût moyen

Cm(x)=x/4+9ln(x+1)/2x

pour trouver la dérivée de ln(x+1)/x tu poses u(x)=ln(x+1) et v(x)=x

la dér est u'v-uv' le tout sur v²

C'm(x)=1/4+9/2[x/(x+1)-ln(x+1)]/(x+1)²

tu finis le calcul

tu multiplies par 2x² et tu vas bien trouver f(x)

comme sur ]0;5] 2x² est >0 C'm et f ont le même signe

d'après la question d'avant : f est <0 entre 0 et a puis >0 entre a et 5

Cm décroit pour x entre 0et a puis croit pour x entre a et 5

le min est atteint pour x=a

Si tu as des questions n'hésites pas