Produit Scalaire

[Amélie_à_Cape_Town]

Bonjour !

j'ai un exercice à rendre pour mardi et je bloque sur un bout de question .

On considère un tétraèdre régulier ABCD. On se propose de démontrer que quelque que soit le point M du segment BC et N du segment BC, la mesure de l'angle mân est inférieure ou égale à <pi>/3 .

on pose BM=x et BN=y et on désigne par a l'arrete du tétraèdre.

1) montrer que MA^2 =a^2 +x^2 -ax , NA^2 = a^2+y^2 -ay et vecteur AM. vecteur AN = 1/2 (a^2 +(a-x)a-y).

2) en déduire les inégalités suivantes AM<=a;AN>=aet vecteur AM . vecteur AN (a^2)/2 et conclure .

alors j'ai réussi a trouvé MA^2 et NA^2 grace à la formule d'AL KASHI mais je touve le produit des vecteurs !!

merci a tous ceux quie me répondront !

[elp]

AM²=AB²+BM²-2ABBMcosB=a²+x²-2ax*1/2=a²+x²-ax

AN²=a²+y²-ay

C'est ce que tu as trouvé avec ta formule.

j'écris les vecteurs sans ---->

AM.AN=(AB+BM).(AB+BN)=AB²+AB.BN+BM.AB+BM.BN=

a²-BA.BN-BA.BN+xy=

a²-axcos(pi/3)-aycos(pi/3)+xy=a²-ax/2-ay/2+xy

si tu développes 1/2[a²+(a-x)(a-y)] tu trouveras ce qui précéde donc c'est OK.

AM²=a²+x²-ax=a²-x(a-x)

x>=0

a-x>=0 donc x(a-x)>=0 donc a²-x(a-x)<=a²

on a donc AM²<=a² et AN²<=a²

donc 0</AM/<=a et idem pour /AN/

AM.AN=1/2[a²+(a-x)(a-y)]

a-x>=0

a-y>=0

donc AM.AN>=a²/2

AM.AN=/AM/*/AN/*cos(MAN)<=a*a*cos(MAN)

en résumé: a²/2<=AM.AN<=a²cos (MAN)

a²>0 donc 1/2<=cos(MAN) donc MAN ne peut pas être plus grand que pi/3

Es-tu d'accord ?

[Amélie_à_Cape_Town]

oui je suis d'accord !! Merci beaucoup de m'avoir aidée

[Amélie_à_Cape_Town]

en fait il y a juste un passage que je ne comprend pas :

tu arrive à

a^2 -ax/2 -ay/2 +xy (1)

or si tu développe 1/2 ( a^2+(a-x)(a-y)) tu trouve (a^2 +a^2 -ax-ay+xy)/2 (2)

il y a un a^2 en trop dans (2)et a^2 et xy ne sont pas sur une fraction dans (1)

ou est ce que ca ne vas pas ??

[elp]

1/2[a²+(a-x)(a-y)]=

1/2[ a²+a²-ay-ax+xy]=1/2[2a²+xy-a(x+y)]=a²-a(x+y)/2+xy/2

Tu as raison, il y a un pb avec xy/2

je vais encore chercher mais je ne vois pas où cela cloche !

on a pour l'instant: a²-ax/2-ay/2+xy=1/2[a²+(a-x)(a-y)] + xy/2=AM.AN

le reste est à modifier comme suit:

AM.AN=1/2[a²+(a-x)(a-y)]+xy/2

a-x>=0

a-y>=0

xy/2>=0

donc AM.AN>=a²/2 etc...

Je suis désolé, je dois sortir mais je vais m'y remettre dans 4 à 5 heures.

A plus tard.

[elp]

suite du message précédent:

je calcule le prod scalaire autrement.

je rapporte le plan à un rep orthonormé.

je prends B pour origine, l'axe des X passe par C (orienté versC) et l'axe des Y est perp et orienté du côté de A (C'est très mal exprimé mais je ne peux pas faire un dessin ce qui serait bien plus simple !)

on a donc

B(0;0) C(a;0) M(x;0) N(y;0) A(a/2; a*rac(3)/2)

vecteur AM(x-a/2;-a*rac(3)/2) vecteur AN(y-a/2;-a*rac(3)/2)

le produit scalaire de ces 2 vecteurs est:

(x-a/2)(y-a/2)+(-a*rac(3)/2)(-a*rac(3)/2)=

xy-ax/2-ay/2+a²/4 + 3a²/4=a²+xy-a(x+y)/2

si on développe ce qui est ds l'énoncé on a 1/2[a²+a²-ay-ax+xy]=

a²-ay/2-ax/2+xy/2

il y a donc toujours xy/2 qui manque

je suis perplexe !

pour le reste de l'exercice je crois que cela fonctionne (voir le message précédent)

Pourras-tu me donner le fin mot de cette histoire ?

merci

[Amélie_à_Cape_Town]

J'ai trouvé !!

en fait la première méthode que tu a utilisé avec Chasles, et bien tu a oublié de multiplier par le cosinus de <pi>/3 (pi c alt p ) lorsque tu es passé des vecteurs aux normes !

voila c t tout bète !

en tous cas merci de m'avoir aidée !

[elp]

C'est gentil de me répondre mais je ne comprends pas à quel endroit j'ai oublié ce cosinus.

J'ai retrouvé le même résultat (avec xy/2 en trop ) avec une autre méthode de calcul et cela me laisse très perplexe.

Bon courage pour la suite de l'exercice.