Fonction Exponentielle

[katana]

c'est l'exercice 27p106 du livre de maths term.S hédition nathan collection hyperbole.

Voici l'énnoncé :

f est une fonction dérivable sur R telle que f(0)=1. On suppose les fonctions f et f' strictement positives sur R. C est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.

En tout point M de C, la tangeante à C coupe l'axe des abcisses en un point Q tel que la longueur NQ est constante, N étant le projeté orthogonal de M sur l'axe des abcisses. Quelles sont les fonctions f vérifiant ces conditions?

Merci d'avance, si je poste le sujet c'est que j'y arrive vraiment pas :/

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[elp]

M pt quelconque de la courbe C.

on appelle ses coordonnées xo et yo.

on a yo=f(xo)

on cherche l'équation de la tgte à C en M.

le coeff directeur est le nbre dérivé en xo, donc f '(xo).

l'équation de la tgte est

y-f(xo)=f ' (xo)(x-xo)

Au pt d'intersection avec l'axe des absc. on a y=0 donc l'absc. du point Q est telle que:

0-f(xo)=f ' (xo)(x-xo)

x-xo= -f(xo)/f '(xo) (on peut diviser car f ' strictement positive)

x= xo-f(xo)/f ' (xo)

l'ord. de Q est 0

l'absc. de N est celle de M donc xo, son ord. est 0

la distance NQ est /xo-(xo-f(xo)/f ' (xo)/=/f(xo)/f'(xo)/= f(xo)/f ' (xo) car f et f' sont positives.

on a donc une équa diff de la forme f/f' = constante donc f '/f cste (car f non nulle)

f(x)=Aexp(ax)

f(0)=Aexp(0)=A =1 par hyp

f(x)=exp(ax)

comme f ' (x)= aexp(ax)

il faut a > 0 pour que f ' strictement positive

j'espère que tout cela t'aidera, il faudra rédiger mieux que moi, j'ai fait au plus vite.

[katana]

f(x)=Aexp(ax)

f(0)=Aexp(0)=A =1 par hyp

f(x)=exp(ax)

comme f ' (x)= aexp(ax)

il faut a > 0 pour que f ' strictement positive

<{POST_SNAPBACK}>

[elp]

théorème:

les solutions de l'équations diff y'=ay (a€lR) sont toutes les fonctions (définies sur lR) :

y: x---->Aexp(ax) avec A ds lR

A est une constante

ici elle vaut 1 car ds l'énoncé on dit que f(0)=1

1/a est la longueur NQ (on dit que NQ est constante ds l'énoncé et on a montré que NQ=f/f ' donc f '/f = 1/NQ

Je reste à ton écoute.

[katana]

théorème:

les solutions de l'équations diff  y'=ay  (a€lR) sont toutes les fonctions (définies sur lR)  :

y: x---->Aexp(ax) avec A ds lR

A est une constante

ici elle vaut 1 car ds l'énoncé on dit que f(0)=1

1/a est la longueur NQ (on dit que NQ est constante ds l'énoncé et on a montré que NQ=f/f ' donc f '/f = 1/NQ

Je reste à ton écoute.

<{POST_SNAPBACK}>

[elp]

comment ton prof a t-il introduit la fonction exp ?

est-ce que tu as vu les ln(x) ?

on pourrait faire comme suit:

f '/f = constante=a

f'/f est la dérivée de ln(f) (on sait f>0 ds l'énoncé)

en intégrant on a

ln(f)=ax+b

f(x) = exp(ax+B)=exp(B)*exp(ax)=A*exp(ax)

A ta disposition pour la suite....

[katana]

ln(f)=ax+b

f(x) = exp(ax+=exp(*exp(ax)=A*exp(ax)

[elp]

je ne peux t'aider efficacement car je ne sais pas trop ce que tu as vu en cours, ni comment les notions ont été abordées.

As-tu vu les primitives ?

Sais-tu que la dérivée de ln(lfl) est f '/f ?

on a f '/f =a (a étant une constante qui, ici est positive car f et f' sont positives ds l'énoncé)

en passant aux primitives

ln(f(x))=ax+b (f est positive donc lfl=f)

exp est la fonction réciproque de ln donc

f(x) =exp(ax+b)=exp(ax)*exp(b)

on sait que f(0)=1 donc

1=exp(0)*exp(b)=1*exp(b) donc exp(b)=1 et f(x)=exp(ax)

si tu dérives tu as f'(x) = a*exp(ax) = a*f(x) donc f'(x)/f(x)=a

Est-ce que cela correspond à ce que tu as vu en cours ?

Tiens moi au courant. Merci.

[katana]

en passant aux primitives

ln(f(x))=ax+b (f est positive donc lfl=f)

<{POST_SNAPBACK}>

[elp]

la dérivée de ln(f(x)) est bien f '/f car f est fonction de x.

tu vas apprendre cela plus tard dans le cours.

La, je suis désolé car je ne vois pas comment finir cet exercice dans l'état actuel de tes connaissances.

Pourras tu me dire, quand tu auras la correction, comment il fallait faire .

Amicalement

[katana]

j'ai trouvé la solution, en fait ce n'était pas tres compliqué.

distance NQ = f/f' = constante

f(0) = 1

D'apres le cours sur les exponentielle, exp(x) est la seule fonction qui réponds a ces deux conditions.

[elp]

OK !

D'où la nécessité, pour celui qui veut aider, de savoir comment le cours a été commencé.

Tout ce que je t'avais proposé est vrai, tu auras un peu d'avance pour la suite !

A plus tard sur e-bahut.