Limites - Vérification

[el-rital]

bonsoir, j'aimerai juste que quelqu'un vérifie mon exercice sur les limites :

f et g sont deux fonctions définies sur ] 0 ; + infini [ par f ( x ) = 2 + ( 1 / x²)

et g ( x ) = 2 - (1 / x² )

Démontrer avec la définition que les fonctions f et g ont pour limites 2 en + infini

Donc je mets juste les calculs

-

Pour f ( x ) :

x² > 0 donc 1/x² > 0

> 2 + 1/x² > 2 > - teta

il faut 2 + 1/x² < alpha donc 1/x² < alpha - 2

> x² > 1/(alpha - 2) donc x> 1/(V(alpha - 2 )

f( x ) appartient à l'intervalle I pour tout x > 1/(V(x-2))

d'où limite de f(x) quand x tends vers + infini = 2

- soit un intervalle I ] - teta ; alpha [ ac teta et alpha > 0 et l'intervalle contient 2

x² > 0 > 1/x² > 0

> -1/x² + 2 < 2

> 2 - 1/x² < 2 < alpha

il faut 2 - 1/x² > - teta

( calcul... )

donc x > 1/(V(teta + 2 ))

quelque soit l'intervalle I on a pour tous x > 1/(V(teta + 2 )) g( x ) appartient à I

D' où limite de g ( x ) quand x tends vers + infini = 2

est ce que c'est juste ?

Merci d'avance

[elp]

on dit que f admet la limite L en +00 si pour tout réel epsilon >0, il existe un réel B tel que pour tout x ds le D de déf:

x>B entraine l f(x)-L l < epsilon

f(x)-2=1/x² l f(x)-2 l=1/x² 1/x²<epsilon

x²>1/epsilon

x>rac(1/epsilon)

quel que soit epsilon, si tu fais x>rac(1/epsilon) alors l f(x)-2 l < epsilon

donc f --->2 si x-->+00

pareil avec g