Suites Numériques Et Fonctions Usuelles

[salamandretordue]

voilà c'est un exercice qui dès le début me pose problème .lE VOICI

On se propose d'etudier l'evolution d'une population de coccinelles à l'aide d'un modèle utilisant la fonction numérique f définie par f(x)=kx*(1-x) k etant un parametrequi dépend de l'environnement k est à |R

dans le modèle choisi on admet que le nombre de coccinelles reste inférieur à 1 million

L'effectif des coccinelles exprimé en millions d'individus est approchée pour l'année n par un nombre réel Un avec Un comprise entre 0 et 1.Par ex si pour l'année 0 il y a 3000000 coccinelles on prendre uo=0.3

on admet que l'evolution d'une année sur l'autre obéit à la relation ude n+1 =f(Un) f etant la fonction définit ci dessus

le but est d'etudier le comportement de la suite (Un) pour différentes valeurs de la population Uo et du parametre k.

1/ démontrer que si la suite (Un) converge ,alors sa limites l vérifie la relation f(l)=l

2/supposons Uo=0.4 et k=1

a/etudier le sens de la variation de la suite Un

b/montrer par recurrence que pour tout entier n 0<=Un<=1

c/la suite est elle convergente ? qul est sa limite?

d/Que peut on dire de l'evolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses?

ensuite l'exo continu mais je pense savoir le faire...pouvez vous me donner des pistes merci

[elp]

Un+1 = f(Un), f continue sur R si Un --> l alors f(Un) ---> f(l) et comme f(Un) = Un+1 tend vers l on a f(l)=l

Un+1 - Un = Un(1-Un) - Un= Un-Un^2-Un=-Un^2 donc négatif donc décroissance

SI 0<=Un<=1 alors

-1<= -Un<=0

1-1<=1-Un<=1-0

0<=1-Un<=1

0*0<= Un*(1-Un)<=1*1

donc 0<=Un+1<=1

on a:

propriété vraie pour U0

si vraie à l'ordre n alors vraie à l'ordre n+1

la prop est toujours vraie (je vais vite ; il faudra mieux rédiger)

la suite est décroissante et minorée (par 0 ) donc elle converge vers une limite l

on a donc f(l)=l

l(1-l)=l

l-l²=l

l=0

il n'y aura plus de coccinelles

(on ne peut pas faire le même exo avec des moustiques ??)

[salamandretordue]

hello tu m'as fais rire avec tes moustiques

je viens juste de voir ta reponse....si sa ne te dérange pas je vais la regarder de plus près et si j'ai des problème sa te dérange si je te reposte??? c'est vraiment tres sympa et je pense tout de meme que je vais pouvoir avancer merchiiiiiiii

[elp]

pas de problème, tu peux reposter quand tu veux.

J'essaierai de t'aider si tu le souhaites.

[salamandretordue]

hello

alors j'ai tout compris ...j'ai mieu rédigé mais....j'ai fait la suite et je me demandais si tu pouvais verifier ( arf tu dois te dire que j'en veux toujours plus)

en fait ensuite on pose Uo=0.3 et k=1.8

en a) il faut etudier les variations de la fonction f =kx*(1-x) sur [0;1/2] et montrer que f(1/2) appartient à [0:1/2]

alors j'ai fait f(x)=1.8x*(1-x)

puis la dérivé j'ai 1,8*(1-2x)

puis j'ai fait le tableau de varitions avec de 0 à 1/2 positif et négatif de 1/2 à 1

et j'ai calculé f(0.5)=0.45 donc dans [0;0.5]

B) avec la recurrence montrer que 0<=Un<=1/2

alors en hypothèse j'ai o<=Un<=1/2

en conclusion 0<=Un+1<=0.5

mais il y a un hic que je n'arrive pas à corriger je te montre mon calcul

0<=Un<=1/2

-1<Un<-1/2

1-1<1-Un<1/2 donc on a

0<1-Un<1/2 mais

0<Un*(1-Un)<1/2*1/2 et là ca ne marche pas et je ne vois pas comment faire

_établir que pour tout entier natureln Un+1>=Un

j'ai fait Un+2/Un+1=-2n²+n+6/-n²+n=2n²+6/n² donc 8>1 ainsi Un+1/Un>1 donc Un+1>=Un

par contre là je n'y arrive pas du tout ....je suis désolée franchement si tu ne peux pas m'aider car tu as des choses à aire ne t'en fait pas

c) la suite Un est elle convergante? si oui quelle est sa limite

d) que peut t'on dire de l'evolutiion à long terme

voilà apres c'est avec des courbes et je pense m'en sortir

merci beaucoup

[elp]

hello

alors j'ai tout compris ...j'ai mieu rédigé mais....j'ai fait la suite et je me demandais si tu pouvais verifier ( arf tu dois te dire que j'en veux toujours plus)

en fait ensuite on pose Uo=0.3 et k=1.8

en a) il faut etudier les variations de la fonction f =kx*(1-x) sur [0;1/2] et montrer que f(1/2) appartient à [0:1/2]

alors j'ai fait f(x)=1.8x*(1-x)

puis la dérivé j'ai 1,8*(1-2x)

puis j'ai fait le tableau de varitions avec de 0 à 1/2 positif et négatif de 1/2 à 1

et j'ai calculé f(0.5)=0.45 donc dans [0;0.5]

*****

il faut utiliser le résultat précédent.

si x est entre 0 et 1/2 tu as montré que f(x) est entre 0 et 0.45.

si Un est entre 0 et 1/2,  Un+1 qui est son image par f est donc entre 0 et 0.45.

B) avec la recurrence montrer que 0<=Un<=1/2

alors en hypothèse j'ai o<=Un<=1/2

en conclusion 0<=Un+1<=0.5

mais il y a un hic que je n'arrive pas à corriger je te montre mon calcul

0<=Un<=1/2

-1<Un<-1/2

1-1<1-Un<1/2 donc on a

0<1-Un<1/2 mais

0<Un*(1-Un)<1/2*1/2 et là ca ne marche pas et je ne vois pas comment faire

_établir que pour tout entier natureln Un+1>=Un

j'ai fait Un+2/Un+1=-2n²+n+6/-n²+n=2n²+6/n² donc 8>1 ainsi Un+1/Un>1 donc Un+1>=Un

par contre là je n'y arrive pas du tout ....je suis désolée franchement si tu ne peux pas m'aider car tu as des choses à aire ne t'en fait pas

*******

on va supposer que Un+1 est sup à Un et on va essayer de montrer que l'on a alors Un+2 sup à Un+1

je calcule Un+2 - Un+1

je trouve 1.8Un+1(1-Un+1)-1.8Un(1-Un)=1.8[un+1-Un+1^2 -Un+Un^2]=

1.8[(Un+1-Un)-(Un+1^2-Un^2)]=1.8[(Un+1-Un)-(Un+1-Un)(Un+1+Un)]=

1.8[(Un+1-Un)(1-(Un+1+Un))]=1.8(Un+1-Un)(1-Un+1-Un)  (produit de 3 facteurs)

on a supposé Un+1 sup à Un donc le 2è  facteur  est positif

Un+1 et Un valent au plus 0.45 donc ensemble au plus 0.9 donc le 3è facteur est

positif donc le produit est positif et on a bien Un+2 > Un+1.

je te laisse le soin de bien finir cette récurrence.

la suite est donc croissante et comme elle est majorée elle est convergente

on a comme l'autre jour f(l)=l

l=1.8l(1-l)

on trouve sauf erreur de ma part l=0.8/1.8  (donc environ 0.44444)

la population va augmenter et se stabiliser.

c) la suite Un est elle convergante? si oui quelle est sa limite

d) que peut t'on dire de l'evolutiion à long terme

voilà apres c'est avec des courbes et je pense m'en sortir

merci beaucoup

<{POST_SNAPBACK}>

[elp]

j'espère que tu vas comprendre ce que je viens de poster, j'ai voulu répondre à l'intérieur de ton message en changeant les couleurs mais c'est raté !!

désolé. Heureusement j'ai mis des ***** avant mes commentaires.