Dm 1ere S : Etude D'une Fonction

[Elriowiel1301]

Bjr à tous !!

Voila le coeur du problème :

On considère la série statistique formée des valeurs x1, x2, …, xk telles que l’on ait x1 < x2 < … < xk.

On se propose de determiner pour quelle valeur de x la fonction f définie par : f(x) = sigma (i=1, juqu'à k) / xi – x /, est minimale

1. Simplifier / xi – x / selon que x > xi ou x < xi. (ça c’est bon)

2. En déduire que sur l’intervalle [xi ; x i+1], f(x) = (2i – n) x + B, où B est un reel.

3. On suppose n impair, c'est-à-dire n=2p + 1, avec p entier naturel non nul.

a. Montrer que f est alors décroissante sur ] - infini ; x p+1 ] et croissante sur [ x p+1 ; + infini ]

b. En déduire la valeur de x pour laquelle f admet un minimum. Que retrouve t-on ? ( bn la c p+1 normalement non ?)

4. On suppose n pair, c'est-à-dire n = 2p, avec p entier naturel non nul.

a. Montrer que f est alors décroissante sur ] - infini ; x p ], constante sur [ xp ; xp+1 et croissante sur [ x p+1 ; + infini ]

b. En déduire les valeurs de x pour lesquelles f est minimale. Que représente alors la valeur

( xp + xp+1 ) / 2 ?

Je rame surtout pour la 3a et la 4a ...

Merci !

Elriowiel

[elp]

x ds [xi,xi+1] donc x>=xi et x<= xi+1

f(x)=(x-x1) + (x-x2 )+(x-x3.)..........+(x-xi )+ (xi+1-x) +( xi+2 -x)+.........(xn-x)

f(x)=i fois x pour les i 1ers termes - (n-i) fois x pour les autres -x1-x2...-xi + xi+1+xi+2......+xn

donc f(x)=x(2i-n)x + B

la fonction f: x ---->ax+b est décroissante si a<0, constante si a=0, croissante si a>0

f va décroitre tant que (2i-n)<0

ds la question 3a: 2i-2p-1<0

2i<2p+1

i<p+1/2

tant que i<=p f décroiss. donc ds ts les intervalles jusque l'interv [xp, xp+1].

ensuite f va croitre

pour la 4 on fait pareil 2i-n = 2i-2p et on a 3 cas:

i<p, i>p et i=p et c'est le cas où la f est constante

autant de termes avant xp (ou xp+1)qu'après, (xp+xp+1)/2 peut être prise comme médiane de la série des xi

j'espère que ces explications te conviendront.

[Elriowiel1301]

Merci beaucoup !!!