Bonjour
J'aurai besoin d'un avis sur mon travail et d'aide sur les questions 3-a) et 4-c) svp
Le sujet :
PARTIE A
On prendra comme prérequis lim n =+∞,
n→+∞
les règles opératoires sur les limites et les théorèmes decomparaisons à l’infini. On rappelle l’inégalité de Bernoulli :
pour tout x > 0 et tout n de N, (1+x )n ≥1+nx .
1) À l’aide de l’inégalité de Bernoulli, montrer que:
lim 2n =+∞
n→+∞
2) En déduire que lim 2(2^n ) =+∞
n→+∞
Partie B
Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et par la relation de récurrence : un +1 =f (un ) où f
est définie sur R par : f (x )= x −x²
.
1)Dresser le tableau de variations de f sur R.
2) Déterminer le sens de variation de la suite (un ).
3) Cas : u0 = −2.
a) Montrer, par récurrence que pour tout n de N,un ≤−2( 2^n) . (*)
b) En déduire lim un .
n →+∞
c) À l’aide de l’inégalité (*), trouver un rang n1 tel que pour tout n ≥ n1, un ≤ − 10 10 .
d) Dans cette question, toute trace de recherche même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.
À l’aide d’un algorithme que l’on détaillera sur la copie et qu’on implémentera sur la calculatrice,
déterminer le plus petit entier n2 tel que pour tout n ≥ n2, un ≤ − 1010 .
4) Cas : u0 = 0,5.
a) Montrer que pour tout n de N, 0 ≤un ≤ 0,5.
b) En déduire que (un ) converge.
c) Montrer que pour tout n de N, un ≤1/n. En déduire lim un
Mon travail :