Trigonométrie Et Géométrie

[nanou60]

bonjour ! mon prof de maths nous a demandé de faire cet exercice en devoir, et je ne lai pas du tout compris...donc si vous pouviez maider ce serait sympa .

1-Valeurs exactes de cos (pi/5) , cos (2pi/5)

B et C sont deux points tels que BC =a (a réel , a>0).

a) Construire un triangle BC isocèle en A tel que langle CBA = 2pi/5.

b)On trace la bissectrice de langle CBA , elle coupe la droite (AC) en D. Démontrer que les tringles ADB et DBC sont isocèles.

c)Démontrer que AB=2acos(pi/5) et DC=2acos(2pi/5)

En déduire que cos(pi/5)-cos(2pi/5)=1/2

d) Démontrer que cos (pi/5) est une solution de l'équation 4X²-2X-1=0.

En déduire la valeur exacte de cos(pi/5), puis de cos(2pi/5) , sin(pi/5) , sin(2pi/5).

2-Application

C est un cercle de centre O et de rayon r . On trace deux diamètres perpendiculaires [AK] et [iJ]. L est le milieu de [OK]. On trace le cercle C' de centre L passant par I , il coupe [OA] en G.

a) Calculer le rayon de C' et en déduire OG en fonction de r .

b) La médiatrice de [OG] coupe le cercle C en B et E .

-Montrer que AB est le coté du pentagone régulier convexe inscrit dans le cercle C.

-Montrer que AB = r(V(10-2V5))/2 et BE= (V(10+2V5))/2

Que vaut BE/AB? (il s'agit du nombre d'or...)

Merci d'avance ..

[Barbidoux]

1-Valeurs exactes de cos (pi/5) , cos (2pi/5)

B et C sont deux points tels que BC =a (a réel , a>0).

a) Construire un triangle BC isocèle en A tel que langle CBA = 2pi/5.

b)On trace la bissectrice de langle CBA , elle coupe la droite (AC) en D. Démontrer que les triangles ADB et DBC sont isocèles.

CAB = Pi/5 ==> BDA isocèle en B

CDB=2*Pi/5 ==> DBC isocèle en B ==> CB=BD=DA=a

c)Démontrer que AB=2acos(pi/5) et DC=2acos(2pi/5)

En déduire que cos(pi/5)-cos(2pi/5)=1/2

E est la projection othogonale de D sur AB==> CA=BA=2*BE=2*BD*Cos(Pi/5)=2*a*Cos(Pi/5)

F est la projection othogonale de B sur AC ==> CD=2*CF=2*CB*Cos(2*Pi/5)=2*a*Cos(2*Pi/5)

AD=a=CA-CD=2*a*Cos(Pi/5)-2*a*Cos(2*Pi/5) ==>Cos(Pi/5)-Cos(2*Pi/5)=1/2

De la relation Cos(2*x)=2*Cos(x)^2-1 on déduit :

Cos(Pi/5)-2*Cos(Pi/5)^2+2=1/2 ==>2*Cos(Pi/5)-4*Cos(Pi/5)^2+1=0 et Cos(Pi/5)=x est solution de 4*x^2-2*x-1=0 soit x= (1-√5)/4 et x=(1+√5)/4 et comme Cos(Pi/5)>0 seule la solution Cos(Pi/5)=x=(1+√5)/4 convient

d) Démontrer que cos (pi/5) est une solution de l'équation 4X^2-2X-1=0.

En déduire la valeur exacte de cos(pi/5), puis de cos(2pi/5) , sin(pi/5) , sin(2pi/5).

On utilise les relations Cos(2*x)=2*Cos(x)^2-1 et Sin(x)=√(1-Cos(x)^2)

==>Cos(2*Pi/5)=(√5-1)/4 et Sin(2*Pi/5)=Sin(2*Pi/5)=√(5/8+√5/8)[

Cos(Pi/5)=(1+√5)/4 et Sin(Pi/5)=√(5/8-√5/8)

[nanou60]

ah oui merci , mais maintenant je ne comprends pas vraiment comment trouver le rayon du cercle ...jai du mal avec la deuxième partie... si vous pouviez maider aussi :/ merci

[Barbidoux]

2-Application

C est un cercle de centre O et de rayon r . On trace deux diamètres perpendiculaires [AK] et [iJ]. L est le milieu de [OK]. On trace le cercle C' de centre L passant par I , il coupe [OA] en G.

a) Calculer le rayon de C' et en déduire OG en fonction de r .

Le triangle IOL est rectangle en O ==>Pythagore ==> IL=√(IO^2+OL^2)=√(r^2+r^2/4)=r√5/2

b) La médiatrice de [OG] coupe le cercle C en B et E .

-Montrer que AB est le coté du pentagone régulier convexe inscrit dans le cercle C.

IL=LG ==> OG=GL-OL= r*(√5-1)/2

BO*Cos(BOG)= r*(√5-1)/4 ==> Cos(BOG)= (√5-1)/4 et voir première partie Cos(BOG)=2*Pi/5 donc AB est le coté du pentagone inscrit dans le cercle C de centre O, chaque côté de ce pentagone correpiondant à un angle au cnetre égal à 2*Pi/5.

-Montrer que AB = r(V(10-2V5))/2 et BE= (V(10+2V5))/2

Que vaut BE/AB? (il s'agit du nombre d'or...)

Relation vectorielle AB=AO+OB ==>AB^2=(AO+OB)^2 ==> AB^2=AO^2+OB^2-2*|AO|*|OB|*Cos(AOB) =2*r^2-2*r^2*(√5-1)/4 =r^2*(5-√5)/2 ==> AB=r*√((5-√5)/2)=r*√(10-2√5)/2

BE=2*BM et le triangle OBM est rectangle en M ==> BM^2=BO^2-MO^2=r^2-(r*(√5-1)/4)^2=r^2*(1- (6-2*√5)/16)=r^2*(10+2*√5)/16 BE^2=4*BM^2=r^2*(10+2*√5)/4 ==> BE=r*√(10+2*√5)/2

BE/AB=√(10+2*√5)/√(10-2*√5) = √(5+√5)/√(5-√5)=1,61803 c’est le nombre d’or

[nanou60]

ah oui merci beaucoup, jai compris !