Harry Potter

[muhahaha^^]

Ensorceler un nombre, c'est calculer le quotient de la différence du triple de ce nombre et de 5 par la somme de ce nombre et de 1.

Pour gagner le tournoi des trois sorciers, Harry Potter doit résoudre l'énigme suivante: qu'advient-il d'un nombre ensorcelé 2000 fois?

a) Sans baguette magique, pouvez-vous répondre a cette question? Justifiez votre réponse.

b) Harry Potter affirme que certains nombres refusent de se laisser ensorceler une fois, deux fois, plusieurs fois? A-t-il raison? Si oui, quels sont-ils, si non pourquoi?

(je sais pas pour quoi mais je comprend rien et j'y arrive encore moins xD)

Merci de bien vouloir m'aider ^^

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir Hermione (Muhahaha, c'est pas facile à dire :p),

Afin de gagner la coupe des trois sorciers (C'est le bouquin le plus soulant au passage), nous allons essayer de répondre à la question. Soit H, la fonction qui traduit l'ensorcellement du nombre et x, le dit nombre.

Donc, d'après l'énoncé, H(x) = (3x-5)/(x+1).

Soit H^(n)(x), la fonction qui ensorcelle n fois le nombre x. Donc, H^(1)(x) = H(x) = (3x-5)/(x+1).

Calculons H^(2), H^(3), H^(4) et H^(5). (Je te donne le résultat directement, si tu n'y arrives pas, dis le moi!)

H^(1)(x) = (3x-5)/(x+1)

H^(2)(x) = (x-5)/(x-1)

H^(3)(x) = -(x+5)/(x-3)

H^(4)(x) = x

Donc, on arrive à H^(5)(x) = H(x).

Conclusion, pour tout k app à N.

H^(1+4k)(x) = (3x-5)/(x+1)

H^(2+4k)(x) = (x-5)/(x-1)

H^(3+4k)(x) = -(x+5)/(x-3)

H^(4+4k)(x) = x

Donc pour ensorceler 2000 fois, on doit remarquer que 2000 = 4 + 4*499. Donc, un nombre ensorcelé 2000 fois, il sera revenu à sa valeur d'origine x.

2) Effectivement, il y a certains nombre de nombre qui possèdent un talisman de protection contre les sorciers enquiquinants. En effet, au 1er charme, le dénominateur s'annule en -1. Donc, ce nombre est immunisé. Au deuxième charme, -1 est déjà bloqué par le premier charme. En plus, on a x-1 au dénominateur. Donc, 1 et -1 seront immunisés au deuxième passage. Enfin, au troisième charme, il y a de la même manière 3,1 et -1 qui seront immunisés. Et au 4ème charme, il n'y a aucun nombre supplémentaire. Et pour les charmes suivants, vu que l'on retombe sur le 1er charme, aucun autre nombre ne sera immunisé.

Avadakedavra!! Problème de maths vaincu :p.

Bonne soirée.

[muhahaha^^]

merci pour ta réponse mais pourais tu ajouter un développement en exemple sur H^2(x)=(x-5)/(x-1)

et grâce a toi l'exercice bonus +2 est ajouté ^^

[elp]

En l'absence de BS:

h2(x)=[3(3x-5)/(x+1) - 5]/[(3x-5)/(x+1) +1]=

[(9x-15-5x-5)/(x+1)]/[(3x-5+x+1)/(x+1)]=

[(4x-20)/(x+1)]/[(4x-4)/(x+1)]=(4x-20)/(4x-4)=(x-5)/(x-1)

[Boltzmann_Solver]

Tant mieux si cela t'aide (et j'espère que tu as compris...)

Pour faire ce calcul, on prend H(x) et on remplace x par H(x).

Donc, H^(2)(x) = HoH(x) = (3*((3x-5)/(x+1))-5)/((3x-5)/(x+1)+1) = (3*(3x-5)-5*(x+1))/(3x-5+x+1) = (9x-15-5x-5)/(4x-4) = 4/4*(x-5)/(x-1) = (x-5)/(x-1) CQFD!

Est plus clair maintenant?

[muhahaha^^]

Tant mieux si cela t'aide (et j'espère que tu as compris...)

Pour faire ce calcul, on prend H(x) et on remplace x par H(x).

Donc, H^(2)(x) = HoH(x) = (3*((3x-5)/(x+1))-5)/((3x-5)/(x+1)+1) = (3*(3x-5)-5*(x+1))/(3x-5+x+1) = (9x-15-5x-5)/(4x-4) = 4/4*(x-5)/(x-1) = (x-5)/(x-1) CQFD!

Est plus clair maintenant?

[GaellePedroso]

Bonjour, ma petite soeur à la même problème et elle bloque complètement et moi aussi d'ailleurs.. Lorsqu'on arrive au calcul: H^(2)(x), le développement nous est pas compréhensible. Pourquoi est-ce que les nombres 3, -5 et +1 sont ajoutés aux calculs et sont-ils exclus de la fonction "(3x-5)/(x+1)"?

Peut-être quand comprenant ce calcul, la suite sera plus facile.. Merci de votre aide!

[Boltzmann_Solver]

Quand le sorcier ensorcelle 2 fois un nombre, il applique deux fois une fonction à ce nombre. Donc, H^(2)(x) = H(H(x)).

Cependant, tu ne peux pas calculer H(x) si x=1. Donc, 1 est préalablement bloqué lors du premier ensorcellement. Et au deuxième ensorcellement, tu vois que la fonction H^(2)(x) n'est pas défini en 1. Donc, ce nombre est lui aussi ensorcelé lors du deuxième sort. Et ainsi de suite. Est-ce clair ?