Problème Sur Les Complexes

[didi59]

Bonjour, pourriez vous m'aidez ,svp, : On appelle A le point d'affixe (-2i)

A tout point M du plan d'affixe z, on associe le point M' d'affixe

z'=-2(conjugué de z)+2i

1) Soit le point B d'affixe b=3-2i

Déterminer la forme algébrique des affixes a' et b' des points A' et B' associés respectivement aux points A et B.

2)Montrer que si M appartient à la droite delta d'équation y=-2 alors M' appartient aussi à la droite delta.

3) Démontrer que pour tout point M d'affixe z , (z'+2i)=2(z+2i)

(ce n'est pas des parenthèses mais des barres)

Interpréter géométriquement

4) Pour tout point M distinct de A, on appelle Téta un argument de z+2i

a) Justifier que Téta est une mesure de l'angle ( ; AM> )

B) Démontrer que (z+2i)(z'+2i) est un réel négatif ou nul

c) En déduire un argument de z'+2i en fonction de Téta

d) Que peut-on en déduire pour les demi-droites [AM) et [AM')

5) En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point M' assoocié au point M.

Je n'arrive mais pas du tout à faire cet exercice et mon cours ne m'aide pas :s :'(

Merci pour votre aide

[alpham]

Salut,

J'espère que ce n'était pas dans l'urgence.

1) Tu suis la formule:

z'=-2(conjugué de z)+2i

A': a'=-2(2i)+2i=-2i

B': b'=-2(3+2i)+2i=-6-2i

2) Soit delta la droite d'équation y=-2

M appartient à delta : M: z=x-2i ou x est un réel

M' : z'=-2(x+2i)+2i = -2x-2i

Tu en déduis que M' appartient à delta.

3)

|z'+2i|=2|z+2i|

z=x+iy

z'=-2(x-iy)+2i

z'+2i=-2x+2yi+4i=2(-x+yi+2i)

|z'+2i|=2|-x+yi+2i|=2(|-x+(y+2)i|)=2(|x-(y+2)i|)=2(|x+(y+2)i|)=2|z+2i|

car |z|=|conjugué de z|=|-z|

la distance entre le point d'affixe z' et la droite delta est deux fois moins grande que celle entre la droite et le point d'affixe z. En outre les points sont de part et d'autre de la droite.

4)

(Arg z) est l'angle (Ox;OM)

(z+2i) est une translation de vecteur d'affixe 2i du point d'affixe z

Ou bien z+2i est équivalent au vecteur: vect(OM)-vect(OA)=vect(AM)

donc Arg(z+2i) est l'angle (Ox;AM)

tan teta=(y+2)/x

(z+2i)(z'+2i) = (x+iy+2i)(-2(x-iy)+2i+2i)

= (x+i(y+2))(-2x+2i(y+2)) = -2 x^2+2i x(y+2)-2i x(y+2)-2(y+2)^2

= - 2 ( x^2+(y+2)^2)

un réel au carré est forcément positif ou nul, donc le résultat est obligatoirement négatif ou nul.

c)Arg(z+2i)=angle(Ox;AM)

Arg(z'+2i)=angle(Ox;AM')

Arg((z'+2i)(z+2i))= Arg(z'+2i) + Arg(z+2i) = pi (car c'est un réel négatif)

Arg(z'+2i) = pi - Arg(z+2i) =pi - teta

d) On en déduit que les droite (AM) et (AM') sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=-2

e) M' est le point symétrique de M par rapport à l'axe delta.