Reste De Division

[el-rital]

bonjour,

je vous met l'exo en entier :

1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n de N, 2^(3n) - 1 est divisible par 7

2) en déduire que 2^(3n+1) - 2 est divisible par 7 et que 2^(3n+2) - 4 est divisible par 7

3)Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.

Donc pour les 2 et 3 c'est bon mais c'est pour la dernière question que j'ai quelque problème :

Des 2 questions précedentes on conclut que le reste de :

* 2^(3n) est 1

* 2^(3n+1) est 2

* 2^(3n+2) est 4

Mais pour les autres puissances ? n'y aurait il pas une façon général de noté cela .

Parce que sa peut duré longtemps si je les prends un par un et en plus ce n'est pas à chaque fois le meme reste.

Merci de m'aider

[tuniziano]

bonjour,

je vous met l'exo en entier :

1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n de N, 2^(3n) - 1 est divisible par 7

[el-rital]

c'est faux....

2^(3n+1) n'est pas égale à 2^(3n) X 2^3 mais égale à 2^(3n)* 2 ....

[tuniziano]

c'est faux....

2^(3n+1) n'est pas égale à 2^(3n) X 2^3 mais égale à 2^(3n)* 2 ....

<{POST_SNAPBACK}>

[philippe]

bonsoir,

pour les puissances suivantes

2^(3n+3) =2^[3(n+1)] est du type 2^(3N)

le reste reste 1

et on recommence...

voila le tour est fait!

salut

nb: pour éviter la récurrence

2^3=1 mod 7

donc (propriété des congruences):

qq soit n dans N,

(2^3)^n=1^n mod 7

cad

2^(3n)=1 mod 7

puis (propriété des congruences)

2*2^(3n)=2*1 mod 7

soit

2^(3n+1)=2 mod 7

et encore

2*2^(3n+1)=2*2 mod 7

soit

2^(3n+2)=4 mod 7

la suite est connue...