Dérivé Et Logarythme

[pascalcolin3]

Bon j'ai fait toute la partie A mais j'ai l'impression que j'me suis compliqué la tache donc si vous avez plus simple (ou si j'me suis planté) dite le moi svp

Partie A:

La courbe (T) est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction g définie et dérivable sur ]0;+[ . Les points A(1;3/2) et B(e;(e²/2) appartiennent à la courbe (T) et la tangente en A à (T) est parallèle à l'axe des abscisses.

1.Déterminer g(1); g(e) et g'(1)

2.Déterminer les réels a et b sachant que la fonction g est définie sur ]0;+ [ par une expression de la forme: g(x)=x²/2 + a+b lnx

3. Sachant que g(x)=x²/2 +1-lnx, étudier le sens de variation de g

4. Déterminer le signe de g(x) sur ]0;+ [

donc moi j'ai fais:

1. (Y_B-Y_A)/(X_B-X_A)=(e²/2-3/2)/(e-1)=((e²-3)/2)*(1/(e-1))=(e²-3)/(2x-2)

les coordonnées de A vérifient l'équation donc

3/2=(e²-3)/(2e-2)*1+p

p=3/2-(e²-3)/(2e-2)=(6e-6-2e²+6)/(4e-4)=(3e-e²)/(2e-2)

donc y=(e²-3)/(2e-2)x+(3e-e²)/(2e-2)

ainsi

g(1)=(e²-3+3e-e²)/(2e-2)=1,5

g(e)=(e²-3)/(2e-2)*e+(3e-e²)/(2e-2)=(e^3-e²)/(2e-2)

g'(1) j'ai pas trouvé

2. g(x)=x²/2+a+b lnx

avec g(1)=1,5 : 1,5=1²/2+a+bln1=1/2+a donc a=1,5-1/2=1

avec g(e)=(e^3-e²)/(2e-2) : (e^3-e²)/(2e-2)=e²/2+1+b lne=e²/2+1+b

donc b=(e^3-e²)/(2e-2)^-e²/2-(2e-2)/(2e-2) = (e^3-e²-e²(e-1)-2e-2)/(2e-2) =(e^3-e²-e^3+e²-2e-2)/(2e-2)=-1

donc g(x)=x²/2+1-lnx

3.g'(x)=(1/2)*2x-(1/x)=x-(1/x)=(x²-1)/x

x²-1 : polynome du 2nd degré: racines 1 et -1

x : racine 0

tableau de variation etc...

g(x) décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+[ avec 1,5 comme extrémum en 1

4. g(x) tjs positif sur ]0;+ [ car =1,5 a son point le plus bas.

ensuite partie B ou je n'y arrive pas.

Partie B:

on envisage la fonction f défnie sur ]0;+ [ par f(x)=(lnx)/x+x/2

1.Calculer la dérivée f' de f. Vérifier que, pour tout réel x>0, f'(x)=g(x)/x². Etudier le sens de variation de f. Donner le tableau complet des variations de f.

2. Etudier par le calcul la position de © par rapport à la droite (D) d'équation y=x/2

3.Construire © et (D)

4. Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution alpha appartient [1/2;1]. Que représente alpha pour la courbe ©? placer sur la courbe © le point I d'abscisse alpha. Montrer que ln(alpha)=-(alpha)²/2. En déduire que f'(alpha)=(1+(alpha)²)/(alpha)².

Pour la 1 j'ai réussi mais c'est après que je pige pas

f'(x)=(u'v-v'u)/(v)² avec u=lnx; u'=1/x; v=x; v'=1

donc f'(x)=((1/x)*x-1(lnx))/x² + (1/2)*1=(1-lnx+(1/2)*x²)/x²=(1-lnx+x²/2)/x²

or g(x) = x²/2+1-lnx

donc f'(x) = g(x)/x²

merci d'avance pour la suite et la correction de mes erreurs... et surtout la patience pour lire tout ça :P

(d'ailleur faudra voir si c'est pas possible de mettre un éditeur d'équation pour les maths ça serai plus pratique pour les exo et surtout plus lisible pour l'aide)