DM terminale S complexes + suites

[anne.bak]

* signifie multiplié. Les questions auxquelles je n'arrive pas à répondre sont en rouge. Les autres questions sont en gras. Les 3 parties sont indépendantes.

a et b désignant des nombres complexes ( a différent de 0), on considère la transformation f qui, a tout point M d'affixe z, associe le point M ' d'affixe z ' = az + b.

Soit Mo un point donné du plan différent de O (l'origine). On pose, pour tout point n entier naturel, M (d'affixe n +1) = f (Mn).

PARTIE A :

on pose a = p + iq et b = r + is où p, q, r, s sont des réels. On considère alors les deux suites réelles (Un) et (Vn) où, pour tout entier naturel

(Un ; Vn) désignent les coordonnées de Mn.

1) exprimer U(n+1) et V(n+1) en fonction de Un, Vn, p, q, r et s.J'ai trouvé U(n+1) = p*Un - q*Vn + r et V(n+1) = p*Vn + q*Un + s.

2) montrer que U(n+2) - U(n+1) = p*(U(n+1)-Un) - q*(V(n+1)-Vn). Je l'ai fait.

3)On suppose dans cette question que q=0

a/ Déterminer une condition nécessaire portant sur p pour que U soit une suite arithmétique non constante. De la question précédente, on a U(n+2) = U(n+1)*(p+1) - p*Un. Donc il faut que p soit différent de 0 et de -1 pour que Un ne soit pas constante. Montrer alors que la suite Vn est arithmétique. Je ne sais pas !

b/ Caractériser géométriquement f dans ce cas.

4) On suppose dans cette question que q=r=0, p différent de 0 et p différent de 1.

a/ Montrer que la suite Un est géométrique de raison non nulle. j'arrive à U(n+1) = p*Un.

b/ Montrer que f admet un point double W dont on précisera l"affixe w. On a a*w + b = w. Ça donne w = (-i*s)/(p-1).

Déterminer z ' - w en fonction de z - w. Caractériser géométriquement la transformation f. En préciser les éléments.

c/ Montrer que si Mo différent de M1, tous les points Mn appartiennent à une même droite que l'on précisera. je pense qu'il faut utiliser la récurrence mais je n'arrive pas à définir une propriété de départ.

d/ Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et Gn l'isobarycentre des points Mo,....,M(n-1). Soit Xn l'abscisse de Gn ; étudier la convergence de la suite (Xn) selon les valeurs de p.

PARTIE B :

Teta étant un réel, on suppose dans cette partie a = exp(i*teta) = cos(teta) + i*sin(teta) et b = 0.

1) Caractériser la transformation f. Rotation d'angle teta et de centre O (l'origine).

2)a/ n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2, montrer que les sommets de la ligne polygonale MoM1.....Mn appartiennent tous à un même cercle que l'on précisera.

b/ que peut-on dire des côtés de cette ligne polygonale ? Peut-on choisir teta pour que Mo = M1 ? Je pense teta = 0.

PARTIE C:

On suppose dans cette partie a = ( 1- i(racine de 3)) / 4 et b = 0.

1) a/ Montrer que f est la composée d'une rotation et d'une homothétie que l'on précisera. J'arrive à z ' = (½)* exp(-i pi/3)z. Donc rotation d'angle -pi/3 et de centre O et homothétie de centre O de rapport ½.

b/ Montrer que le triangle OMnM(n+1) est rectangle en M(n+1). Je sais qu'il faut calculer l'argument du quotient (- affixe de M(n+1)) sur ( affixe de Mn - affixe de M (n+1)). Le quotient doit être égal à i ou - i mais je n'arrive pas à trouver.

Je demande juste qu'on me décoince, pas de répondre à toutes les questions. Si deux questions s'enchaînent, je demande juste de l'aide pour la première. Merci beaucoup. Si vous pouviez me répondre avant samedi soir au plus tard ça sera sympa !! Merci d'avance ! :wink:

[philippe]

Bonjour,

A.

3.a. je ne suis pas d'accord avec ta réponse sur p.

(utilise la quest 2. et la def d'un suite arith.

d'ailleurs la suite du pb confirme la réponse)

ensuite (Vn) arith vient tout seul.

3.b. Tu peux calculer les coord du vecteur M_(n+1)M_n

regarde ce qui arrive.

4.b. attention au calcul de w! (C'est un cplx!)

pose w=x+yi et refait les calculs.

calcule z'-w avec la def de z' et sachant que : w=aw+b.

n'oubie pas que a=p pour conclure sur la transfo.

4.c. Tu peux commencer par calculer les coord des vecteurs

M_(n+1)M_n et M_(n+2)M_(n+1)

4.d. Déf de l'isobarycentre.

n.OG_n=OM_0+...+OM_(n-1)

exprime cette relation vecto (coord)

B.

2. Calcule la norme des vecteurs OM_n+1 et OM_n

norme de M_(n+1)M_n et M_(n+2)M_(n+1)

pour théta : pas oublier qu'on travaille modulo 2Pi.

C.

1.b. tu as la réponse!

montrer que (OM_n+1,M_n+1M_n)=Pi/2(2Pi)

calcule donc arg ((z_n+1-z_n)/z_n+1)

sans oublier bien sûr que z_n+1=a.z_n...

A toi de jouer!

[anne.bak]

pour la a j'ai retrouvé p différent de 0 ou de 1. Et Vn est bien arithmétique.

Pour la 4b je ne comprends pas pourquoi tu mets a = p.

Pour la partie c, j'ai bien la méthode mais je dois faire des erreurs je ne trouve pas i ou -i pour le quotient ! :?

En tout cas merci beaucoup !!!

[philippe]

4.b

par hyp, q=0 donc a=p (réel)

C.

arg((z_n-z_n+1)/z_n)=arg((z_n-a.z_n)/z_n)=arg((1-a)/a)

je te laisse poursuivre

ça prend forme non!

[anne.bak]

merci !!

a = p c'est vraiment logique !! mais depuis le temps que je plenche dessus je dois commencer à fatiguer !!

[philippe]

Alors repos!

[anne.bak]

Pour la question 3a de la partie A, j'ai calculé Un+1 - Un donc le résultat doit être indépendant de n pour que ça soit une suite arithmétique. Ca donne Un+1 - Un = Un(p-1) + r. Donc p = 1 ??? Et la suite aurait pour raison r ??? Je suis pas sûre du tout là... Parce que à la question d'après on suppose p différent de 1 :?

Et pour le calcul de w, je ne comprends pas où j'ai faux En calculant z' - w je trouve p*(z - w) donc homothétie de centre w de rapport p.

Pour la partie B j'ai trouvé grâce à ton aide.

pour la partie C, j'arrive à ce quotient : ( 2 - exp (- i pi/3)) sur exp(- i pi/3)). Et il faut trouver i !!!!

En tout cas merci de ton aide... et de ta patience

[philippe]

de rien

3.a.

tu sais que

u_(n+2)-u_(n+1)=p(u_(n+1)-u_n)

si -u_n) est arithm de raison m non nulle(par ex)

alors m=pm

donc p=1

donc (on revient au début)

u_(n+1)=p.u_n+r

si p=0 : u_n=r=cste pr tt n

si p=1 : u_(n+1)=u_n+r suite arith de raison r

la condition est p=1.

4.b.

l'affixe de ton pt dble est pas bon

soit w=x+iy ce point

w=aw+b

donne :

x+iy=(p)(x+iy)+(is)

donc

x=0 (car p<>1) et y=s/(1-p) (car p><1)

donc w=(0,s/(1-p))

le reste est bon.

C.

affixe de malheur!

au lieu de prendre la forme expo pr a, prend la forme cartésienne, ça ira tout seul.

:wink:

[anne.bak]

cette fois c'est la question 3b de la partie A : caractériser f dans ce cas. Je pense que c'est une homothétie mais je ne vois pas comment le démontrer.

De même, pour l'isobarycentre, on n'a que son abscisse mais il faut calculer son affixe.

Pour la partie, j'ai enfin trouvé un angle de - pi/2 (ouf !!!!)

J'ai oublié de donner la dernière question de la partie :

Montrer qu'il existe une homothétie h telle que h (m_n) = M_n+3 :?: :?:

Merci :wink:

[philippe]

A.3.a

Tu as montré que

U_(n+1)=U_n+r (suite arith)

V_(n+1)=V_n+s (idem)

Comment passe t-on de M_n à M_(n+1)?

Autrement dit:

Comment passe t-on des coord (U_n,V_n) à (U_n+1,V_n+1)?

Calcule les coord du vect M_nM_n+1 et regarde ce qui arrive.

(ça serait pas une translation ce truc là??!)

A.4.d

on demande l'abscisse.

tu as la relation vecto

n.OG_n=sum(OM_k,k=0..n-1)

regarde les abscisses

n.X_n=sum(u_k,k=0..n-1) or u_k+1=p.u_k

C.?

(1-a)/a=i.sqrt(3)

arg(...)=pi/2

tu sais que z_n+1=a.z_n

calcule z_n+3 en fonction de z_n et reconnais y l'homothétie demandée

goodluck

[dydy.ch]

Salut anne il me reste que 2 Q° a trouver PARTIE A 3a et 4d

si tu pouvais m'aider ça serai bien.

Sinon à Lundi

[anne.bak]

merci philippe Je pense que je vais y arriver avec ça !!!

Dydy, je t'ai envoyé un message. :wink:

[gbsatti]

Nonsoir je m'entraine actuellement sur le meme exo peut on m'aider pour la question 2a s'il vous plait ^^
Merci d'avance !

[gbsatti]

Bonjour, en fait j'ai finalement réussi à repondre à la question 2, mais maintenant je suis coincer à la question 3b)
"Caractériser géométriquement f"
Si quelqu'un pourrai m'aider ce serait sympa !
Merci ..

[gbsatti]

Bref je suppose que j'ai plus qu'à aller demander de l'aide ailleur ...