Le Carré D'un Entier Impair Est Il Paire Ou Impair

[Thom025]

Pb : Le carré d'un entier impair quelqconque est il pair ou impair ?

1er étape : faire des essais.

calculer : 3² ; 5² ; 7² ; 9² ; 23² ; 251²

Qu'oberve t'on ?

2ème étape : conjecturer.

completer : "il semble que le carré de tout entier impair soit ... "

3ème étapes : démontrer.

On doit démontrer cette conjecture pour tout entier impair (quelques ex ne suffisent pas). Pour cela, utilisons la forme général 2k + 1, avec k appartient N, d'un entier impair.

Dévelloper (2k+1)² et conclure.

(j'arrive pas à la 3ème étape, aider moi please !)

[Kastonia]

(2k+1)² = 4k² + 4k + 1

Entier pair * un entier (pair ou impair) donne un entier pair

Donc 4k² et 4k pair.

Somme de deux entiers pairs -> entier pair

Somme entier pair + entier impair -> entier impair

Donc 4k² + 4k pair

Or 1 impair donc (2k+1)² impair

Tout carré d'entier impair est impair.

(Le gros problème c'est qu'on fait des raisonnements logiques alors que ce qu'on le demande est aussi de la logique. Ainsi ce n'est pas évident de savoir quelles règles sont admises durant la démonstration car dans l'absolu : un entier impair multiplié par un entier impair -> entier impair . Or le carré d'un entier impair , c'est multiplier celui ci par lui même).

Si quelqu'un a une autre idée.

A+

[JNF]

Tu te poses trop de questions!!

Tout entier impair s'écrit sous la forme 2k+1, k étant un entier.(c'est à dire un multiple de 2 auquel on rajoute 1)

Par ailleurs: (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 2(2k² + 2k) + 1 = 2h+1 avec h = 2k² + 2k

(2k+1)² est donc un multiple de 2 auquel on a rajouté 1. C'est donc un entier impair.

JN