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Dm De Maths Pour Vendredi (vérification)


Gakiko

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Voilà on a un DM de maths pour vendredi à faire, sur les suites et reccurence.

pour tout n appartenant à N, la suite U(n+1)=racine(1+Un) et f(x)=racine(1+x) défini sur [-1;+ infini[. U(0)=3 et U(n+1)=f(Un).

Il fallait trouver le sens de variation de f, facile , j'ai décomposé la fonction et trouvé qu'elle était croissante sur [-1;+ infini[.

Ensuite le prof demandait de résoudre f(x)=x et appelé lunique solution a.

Pareil facile j'ai fait : racine(1+x)=x

1+x=x²

0=x²-x-1

Les solutions trouvés sont : x=(1+racine(5))/2 et x'=(1-racine(5))/2. On dit que a=(1+racine(5))/2 car n appartient à N.

Après ca se corse. Le prof demande que l'on prouve que a est minorant à la suite U.

Alors j'ai fait une hypothèse :

On suppose Pn : Un>a, U(0)=3>a donc P(0) est vraie.

Pn+1 vraie ?

on part de Un>a

Un+1>a+1

racine(Un+1)>racine(a+1)

donc U(n+1)>racine(a+1) or avec la calculatrice : a=racine(a+1)

Mais a-t-on le droit de justifier par le fait que sur la calculatrice les résultats marchent ?

sinon après ils demandent le sens de variation de Un et de le justifier. En calculant les premiers termes on se rend compte qu'elle est décroissante, mais est-ce suffisant ?

Enfin, le prof nous demande de montrer que la suite U converge vers a.

J'ai trouvé : On sait que U est décroissante et minoré en a. Donc pour savoir la limite de U il faut prendre la solution positive de f(x)=x, qui est a. Donc U converge vers a. Est-ce que cette réponse suffit ? ou il faut justifier plus ?

Merci beaucoup de me dire si mes justifications sont correctes ains que mes raisonnements.

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  • E-Bahut

t'a plusieur methode pour justifier le sens de variation :

soit: (Un+1)/Un et tu compare avec 1 cad si ce qui te reste est plus grand que 1 alors Un+1 > Un et donc Un est croissante et inversement

soit : Un+1-Un > 0 donne Un+1> Un ou Un+1<Un

sinon y'a aussi la composée de fonction mais je pense pas que ce soit le mieux dans ton cas

pour la convergence si Un est decroissante et minorée alors Un tend vers son minorant

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oki merci

mais le problème pour le sens de variation, j'ai limpression que dans la question du prof comme elle es posée, il ne faut pas faire de calculer mé rédiger... Enfin c une impression, mais je vé essayé ce ke tu ma di

il me reste la derniere question du dm :

prouver : 0<Un+a<(1/(2a))^nX(U(0)-a)

jarrive a prouver Un+a>0 mais lotre non... mé ca me fé pensé a la formule pour les suites géométrike : Un=q^nXU(0), mais je narrive pa a débouché sur ce ke demande le prof.

On sait que par une question audessus : 0<U(n+1)-a<1/(2a)X(Un-a)

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